関数 $f(x) = x^3 - 3x + 2$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f'(x)$ を求める。 (2) $f'(x) = 0$ の解を求める。 (3) (1)と(2)の結果を用いて、増減表を完成させる。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x + 2$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f'(x)$ を求める。

(2) $f'(x) = 0$ の解を求める。

(3) (1)と(2)の結果を用いて、増減表を完成させる。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 - 3x + 2$ を微分します。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 3 = 0$

$3(x^2 - 1) = 0$

$x^2 - 1 = 0$

$(x - 1)(x + 1) = 0$

$x = 1, -1$

(3) $x = -1$ と $x = 1$ を境にして、$f'(x)$ の符号を調べ、$f(x)$ の増減表を作成します。

- $x < -1$ のとき、例えば $x = -2$ とすると、$f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 9 > 0$ なので、$f(x)$ は増加します。

- $-1 < x < 1$ のとき、例えば $x = 0$ とすると、$f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0$ なので、$f(x)$ は減少します。

- $x > 1$ のとき、例えば $x = 2$ とすると、$f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 9 > 0$ なので、$f(x)$ は増加します。

$x = -1$ のとき、$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$

$x = 1$ のとき、$f(1) = (1)^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$

増減表は以下のようになります。

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |

| :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 4 | 減少 | 0 | 増加 |

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 3x^2 - 3$

(2) $x = 1, -1$

(3) 増減表：

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |

| :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 4 | 減少 | 0 | 増加 |