数列 $\{a_n\}$ の一般項を階差数列を利用して求める問題です。数列は $2, 3, 5, 8, 12, \dots$ です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項を階差数列を利用して求める問題です。数列は $2, 3, 5, 8, 12, \dots$ です。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とします。$\{b_n\}$ は、各項の差を取ることで求められます。

$b_1 = 3 - 2 = 1$

$b_2 = 5 - 3 = 2$

$b_3 = 8 - 5 = 3$

$b_4 = 12 - 8 = 4$

よって、階差数列 $\{b_n\}$ は $1, 2, 3, 4, \dots$ となり、これは初項 $1$、公差 $1$ の等差数列であることがわかります。

したがって、$b_n = n$ となります。

数列 $\{a_n\}$ の一般項は、階差数列を用いて次のように表されます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \quad (n \ge 2)$

ここで、$a_1 = 2$ であり、$b_k = k$ であるから、

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ であるから、

$a_n = 2 + \frac{(n-1)n}{2} = 2 + \frac{n^2 - n}{2} = \frac{4 + n^2 - n}{2} = \frac{n^2 - n + 4}{2}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1^2 - 1 + 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$ となり、これは数列の初項と一致します。

したがって、$a_n = \frac{n^2 - n + 4}{2}$ は全ての $n$ について成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{n^2 - n + 4}{2}$