次の無限級数が発散することを示してください。 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} + \dots$

1. 問題の内容

次の無限級数が発散することを示してください。

$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} + \dots$

2. 解き方の手順

この級数の一般項は $a_n = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$ です。

一般項を次のように変形します。

$a_n = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(n+1) - n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

したがって、この級数の第 $N$ 部分和 $S_N$ は次のようになります。

$S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n = \sum_{n=1}^{N} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{N+1} - \sqrt{N}) = \sqrt{N+1} - 1$

$N \to \infty$ のとき、$\sqrt{N+1} \to \infty$ となるので、$S_N \to \infty$ となります。

したがって、与えられた無限級数は発散します。

3. 最終的な答え

与えられた無限級数は発散する。