数列 $\{a_n\}$ が与えられています。数列の初項からいくつか項が示されており、$3, 6, 11, 18, 27, \dots$ となっています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられています。数列の初項からいくつか項が示されており、$3, 6, 11, 18, 27, \dots$ となっています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた数列の階差数列を考えます。階差数列とは、隣り合う項の差をとってできる数列のことです。

与えられた数列を $\{a_n\}$ とすると、

$a_1 = 3, a_2 = 6, a_3 = 11, a_4 = 18, a_5 = 27, \dots$ です。

階差数列 $\{b_n\}$ を計算します。

$b_1 = a_2 - a_1 = 6 - 3 = 3$

$b_2 = a_3 - a_2 = 11 - 6 = 5$

$b_3 = a_4 - a_3 = 18 - 11 = 7$

$b_4 = a_5 - a_4 = 27 - 18 = 9$

よって、階差数列 $\{b_n\}$ は $3, 5, 7, 9, \dots$ となります。

この数列は等差数列であり、初項は $3$、公差は $2$ です。

したがって、$b_n = 3 + (n-1) \cdot 2 = 2n + 1$ となります。

数列 $\{a_n\}$ の一般項は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ (ただし、n >= 2)

で求められます。

$\sum_{k=1}^{n-1} b_k = \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1) = 2 \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = n(n-1) + (n-1) = n^2 - n + n - 1 = n^2 - 1$

したがって、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 3 + n^2 - 1 = n^2 + 2$ (ただし、n >= 2)

$n = 1$ のとき、$a_1 = 1^2 + 2 = 3$ となり、これは与えられた数列の初項と一致します。

よって、全ての $n$ に対して、$a_n = n^2 + 2$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = n^2 + 2$