ベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ について、以下の連立方程式が与えられています。 $\vec{x} + \vec{y} = 3\vec{a} - \vec{b}$ $\vec{x} - \vec{y} = \vec{a} + 3\vec{b}$ このとき、ベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表してください。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ について、以下の連立方程式が与えられています。

$\vec{x} + \vec{y} = 3\vec{a} - \vec{b}$

$\vec{x} - \vec{y} = \vec{a} + 3\vec{b}$

このとき、ベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表してください。

2. 解き方の手順

与えられた連立方程式を解きます。

まず、二つの式を足し合わせることで、$\vec{y}$ を消去します。

$(\vec{x} + \vec{y}) + (\vec{x} - \vec{y}) = (3\vec{a} - \vec{b}) + (\vec{a} + 3\vec{b})$

$2\vec{x} = 4\vec{a} + 2\vec{b}$

$\vec{x} = 2\vec{a} + \vec{b}$

次に、最初の式から2番目の式を引くことで、$\vec{x}$ を消去します。

$(\vec{x} + \vec{y}) - (\vec{x} - \vec{y}) = (3\vec{a} - \vec{b}) - (\vec{a} + 3\vec{b})$

$2\vec{y} = 2\vec{a} - 4\vec{b}$

$\vec{y} = \vec{a} - 2\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{x} = 2\vec{a} + \vec{b}$

$\vec{y} = \vec{a} - 2\vec{b}$