空間内の3直線 $l_1$, $l_2$, $l_3$ の位置関係を求めます。それぞれの直線は以下の式で表されます。 $l_1: x-1 = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{3}$ $l_2: x-2 = y = z-6$ $l_3: \frac{x}{2} = \frac{y+2}{2} = z$

問題5を解きます。

1. 問題の内容

空間内の3直線 $l_1$, $l_2$, $l_3$ の位置関係を求めます。それぞれの直線は以下の式で表されます。

$l_1: x-1 = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{3}$

$l_2: x-2 = y = z-6$

$l_3: \frac{x}{2} = \frac{y+2}{2} = z$

2. 解き方の手順

各直線の方向ベクトルを求めます。

$l_1$ の方向ベクトルは $\vec{v_1} = (1, 2, 3)$

$l_2$ の方向ベクトルは $\vec{v_2} = (1, 1, 1)$

$l_3$ の方向ベクトルは $\vec{v_3} = (2, 2, 1)$

次に、各直線の位置関係を調べます。

* $l_1$ と $l_2$ :

$\vec{v_1}$ と $\vec{v_2}$ は平行ではないので、一致または平行ではありません。

$l_1$ 上の点 (1, 0, -1) と $l_2$ 上の点 (2, 0, 6) をそれぞれ取り、2直線の位置関係を確認します。交わるか、ねじれの位置にあるかを判断します。

$l_1$ の式を $x-1 = t$, $y = 2t$, $z+1 = 3t$ と表し、$l_2$ の式を $x-2 = s$, $y = s$, $z-6 = s$ と表します。

連立方程式 $1+t = 2+s$, $2t = s$, $-1+3t = 6+s$ を解きます。

$t = s/2$ を代入すると、$1 + s/2 = 2 + s$, $-1 + 3s/2 = 6 + s$ となります。

$s/2 = -1$ より $s = -2$。 $-1 + 3s/2 = -1 -3 = -4 \neq 6 + s = 6 - 2 = 4$ なので、連立方程式は解を持ちません。

したがって、$l_1$ と $l_2$ はねじれの位置にあります。

* $l_1$ と $l_3$ :

$\vec{v_1} = (1, 2, 3)$ と $\vec{v_3} = (2, 2, 1)$ は平行ではないので、一致または平行ではありません。

$l_1$ 上の点 (1, 0, -1) と $l_3$ 上の点 (0, -2, 0) をそれぞれ取り、2直線の位置関係を確認します。

$l_1$ の式を $x-1 = t$, $y = 2t$, $z+1 = 3t$ と表し、$l_3$ の式を $x/2 = s$, $(y+2)/2 = s$, $z = s$ と表します。

連立方程式 $1+t = 2s$, $2t = 2s - 2$, $-1+3t = s$ を解きます。

$t = s - 1$ を代入すると、$1 + s - 1 = 2s$, $-1 + 3(s-1) = s$ となります。

$s = 2s$ より $s = 0$。 $-1 + 3s - 3 = -4 = s$ より $s = -4$。

連立方程式は解を持たないので、$l_1$ と $l_3$ はねじれの位置にあります。

* $l_2$ と $l_3$ :

$\vec{v_2} = (1, 1, 1)$ と $\vec{v_3} = (2, 2, 1)$ は平行ではないので、一致または平行ではありません。

$l_2$ 上の点 (2, 0, 6) と $l_3$ 上の点 (0, -2, 0) をそれぞれ取り、2直線の位置関係を確認します。

$l_2$ の式を $x-2 = t$, $y = t$, $z-6 = t$ と表し、$l_3$ の式を $x/2 = s$, $(y+2)/2 = s$, $z = s$ と表します。

連立方程式 $2+t = 2s$, $t = 2s - 2$, $6+t = s$ を解きます。

$2s - 2 = t$ より、$2 + (2s - 2) = 2s$, $6 + (2s - 2) = s$ となります。

$2s = 2s$ より $s$ は任意の値を取ります。$4 + 2s = s$ より $s = -4$。

連立方程式は解を持たないので、$l_2$ と $l_3$ は平行ではありません。

$l_2$ の式を $x = y + 2 = z - 4$ と表し、$l_3$ の式を $x = y + 2 = 2z$ と表します。

$l_2$ 上の点と $l_3$ 上の点において、$x=y+2$が成り立ちます。

$z - 4 = 2z$ より、$z = -4$ なので、$x = -2, y = -4$ を得ます。

$l_2$ 上の点 (-2, -4, 2) , $l_3$ 上の点 (-2, -4, -4)

これらの方向ベクトルは平行ではないため、$l_2$と$l_3$は交わります。

3. 最終的な答え

* $l_1$ と $l_2$ : 4 (ねじれの位置にある)

* $l_1$ と $l_3$ : 4 (ねじれの位置にある)

* $l_2$ と $l_3$ : 3 (交わる)