空間内に与えられた3つの直線 $l_1, l_2, l_3$ の位置関係について、以下のペアの位置関係を、選択肢から選ぶ問題です。 (1) $l_1$ と $l_2$ (2) $l_1$ と $l_3$ (3) $l_2$ と $l_3$ 選択肢は以下の通りです。 1. 一致する

1. 問題の内容

空間内に与えられた3つの直線 $l_1, l_2, l_3$ の位置関係について、以下のペアの位置関係を、選択肢から選ぶ問題です。

(1) $l_1$ と $l_2$

(2) $l_1$ と $l_3$

(3) $l_2$ と $l_3$

選択肢は以下の通りです。

1. 一致する

2. 平行で一致しない

3. 交わる

4. ねじれの位置にある

2. 解き方の手順

まず、各直線の方向ベクトルを求めます。

直線 $l_1: x-1 = \frac{y}{2} = -\frac{z+1}{3}$ の方向ベクトルは $\vec{v_1} = (1, 2, -3)$ です。

直線 $l_2: x-2 = y = 2z-6$ は $x-2 = y = 2(z-3)$ と変形できるので $\frac{x-2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-3}{\frac{1}{2}}$. したがって方向ベクトルは $\vec{v_2} = (1, 1, \frac{1}{2})$ です。

$\vec{v_2} = (2, 2, 1)$としても良いです。

直線 $l_3: \frac{x}{2} = \frac{y+2}{2} = z$ の方向ベクトルは $\vec{v_3} = (2, 2, 1)$ です。

(1) $l_1$ と $l_2$ について：

$\vec{v_1} = (1, 2, -3)$ と $\vec{v_2} = (2, 2, 1)$ は平行ではないので、 $l_1$ と $l_2$ は平行でも一致もしません。次に、交わるかどうかを調べます。$l_1$ 上の点を $(1+t, 2t, -1-3t)$、$l_2$ 上の点を $(2+s, s, 3+\frac{s}{2})$ とおきます。

$1+t = 2+s, 2t = s, -1-3t = 3+\frac{s}{2}$ が成り立つかどうかを確認します。

$t = s+1$ を $2t = s$ に代入すると、$2(s+1) = s$, つまり $2s+2=s$, $s = -2$. $t=-1$.

$-1-3t = -1-3(-2)=-1+6=5$

$3+\frac{s}{2} = 3+\frac{-2}{2} = 3-1=2$

$5\neq2$なので交わらない。

したがって、$l_1$ と $l_2$ はねじれの位置にあります。答えは 4 です。

(2) $l_1$ と $l_3$ について：

$\vec{v_1} = (1, 2, -3)$ と $\vec{v_3} = (2, 2, 1)$ は平行ではないので、$l_1$ と $l_3$ は平行でも一致もしません。次に、交わるかどうかを調べます。$l_1$ 上の点を $(1+t, 2t, -1-3t)$、$l_3$ 上の点を $(2s, -2+2s, s)$ とおきます。

$1+t = 2s, 2t = -2+2s, -1-3t = s$ が成り立つかどうかを確認します。

$t = 2s-1$ を $2t = -2+2s$ に代入すると、$2(2s-1) = -2+2s$, つまり $4s-2=-2+2s$, $2s = 0$, $s=0$, $t=-1$.

$-1-3t = -1-3(-1) = -1+3 = 2$

$s=0$なので、$2\neq0$となり矛盾。

したがって、$l_1$ と $l_3$ はねじれの位置にあります。答えは 4 です。

(3) $l_2$ と $l_3$ について：

$\vec{v_2} = (2, 2, 1)$ と $\vec{v_3} = (2, 2, 1)$ は平行なので、平行であるか一致します。

$l_2$ 上の点 $(2, 0, 3)$ が $l_3$ 上にあるかどうか調べます。

$l_3: \frac{x}{2} = \frac{y+2}{2} = z$ に $(2, 0, 3)$ を代入すると、$\frac{2}{2}=1$, $\frac{0+2}{2}=1$, $z=3$. よって一致しません。

平行で一致しないので、答えは 2 です。

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 4

(3) 2