問題は、パスカルの三角形と $(a+b)^1$, $(a+b)^2$ の展開を参考に、$(a+b)^3$, $(a+b)^4$, $(a+b)^5$, $(a+b)^7$ を展開することです。

1. 問題の内容

問題は、パスカルの三角形と $(a+b)^1$, $(a+b)^2$ の展開を参考に、$(a+b)^3$, $(a+b)^4$, $(a+b)^5$, $(a+b)^7$ を展開することです。

2. 解き方の手順

パスカルの三角形は、各行の数字が二項係数に対応しています。具体的には、上からn行目の数字は $(a+b)^{n-1}$ の展開における各項の係数を示しています。

(1) $(a+b)^3$の展開

パスカルの三角形の4行目は 1, 3, 3, 1 なので、

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

(2) $(a+b)^4$の展開

パスカルの三角形の5行目は 1, 4, 6, 4, 1 なので、

$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

(3) $(a+b)^5$の展開

パスカルの三角形の6行目は 1, 5, 10, 10, 5, 1 なので、

$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$

(4) $(a+b)^7$の展開

パスカルの三角形の8行目は 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 なので、

$(a+b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$

3. 最終的な答え

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$

$(a+b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$