与えられた等式 $4x^2+5x+3=a(x+1)(x-1)+b(x+2)(x-1)+c(x+1)(x-2)$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める。

1. 問題の内容

与えられた等式 $4x^2+5x+3=a(x+1)(x-1)+b(x+2)(x-1)+c(x+1)(x-2)$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める。

2. 解き方の手順

恒等式なので、適当な $x$ の値を代入して $a, b, c$ に関する連立方程式を立てて解く。

$x=1$ を代入すると

$4(1)^2+5(1)+3=a(1+1)(1-1)+b(1+2)(1-1)+c(1+1)(1-2)$

$4+5+3=0+0+c(2)(-1)$

$12=-2c$

$c=-6$

$x=-1$ を代入すると

$4(-1)^2+5(-1)+3=a(-1+1)(-1-1)+b(-1+2)(-1-1)+c(-1+1)(-1-2)$

$4-5+3=0+b(1)(-2)+0$

$2=-2b$

$b=-1$

$x=0$ を代入すると

$4(0)^2+5(0)+3=a(0+1)(0-1)+b(0+2)(0-1)+c(0+1)(0-2)$

$3=a(1)(-1)+b(2)(-1)+c(1)(-2)$

$3=-a-2b-2c$

$3=-a-2(-1)-2(-6)$

$3=-a+2+12$

$3=-a+14$

$a=14-3$

$a=11$

したがって、$a=11, b=-1, c=-6$

3. 最終的な答え

$a = 11$

$b = -1$

$c = -6$