与えられた4つの二次関数のグラフを描き、それぞれの軸と頂点を求める。

1. 問題の内容

与えられた4つの二次関数のグラフを描き、それぞれの軸と頂点を求める。

2. 解き方の手順

二次関数の一般形は $y = a(x-p)^2 + q$ であり、このとき頂点は $(p, q)$、軸は $x = p$ である。与えられた式をこの形に変形することで、頂点と軸を求める。

(1) $y = -3x^2 + 5$

この式はすでに頂点形式に近い形になっている。

$y = -3(x-0)^2 + 5$ より、頂点は $(0, 5)$、軸は $x = 0$ である。

(2) $y = x^2 + 6x + 9$

この式は因数分解できる。

$y = (x+3)^2$

$y = (x - (-3))^2 + 0$ より、頂点は $(-3, 0)$、軸は $x = -3$ である。

(3) $y = x^2 + x - 1$

平方完成を行う。

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 - 1$

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 1$

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$

$y = (x - (-\frac{1}{2}))^2 - \frac{5}{4}$ より、頂点は $(-\frac{1}{2}, -\frac{5}{4})$、軸は $x = -\frac{1}{2}$ である。

(4) $y = -2x^2 - 6x - 5$

平方完成を行う。

$y = -2(x^2 + 3x) - 5$

$y = -2(x^2 + 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) - 5$

$y = -2((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) - 5$

$y = -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} - 5$

$y = -2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{2}$

$y = -2(x - (-\frac{3}{2}))^2 - \frac{1}{2}$ より、頂点は $(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$、軸は $x = -\frac{3}{2}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(0, 5)$、軸: $x = 0$

(2) 頂点: $(-3, 0)$、軸: $x = -3$

(3) 頂点: $(-\frac{1}{2}, -\frac{5}{4})$、軸: $x = -\frac{1}{2}$

(4) 頂点: $(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$、軸: $x = -\frac{3}{2}$