$\lvert \vec{a} \rvert = 4$, $\lvert \vec{b} \rvert = 1$, $\lvert 2\vec{a} - \vec{b} \rvert = 7$ のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\lvert \vec{a} \rvert = 4$, $\lvert \vec{b} \rvert = 1$, $\lvert 2\vec{a} - \vec{b} \rvert = 7$ のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\lvert 2\vec{a} - \vec{b} \rvert = 7$ の両辺を2乗すると、

$\lvert 2\vec{a} - \vec{b} \rvert^2 = 7^2$

$(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b}) = 49$

$4\vec{a} \cdot \vec{a} - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = 49$

$4\lvert \vec{a} \rvert^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + \lvert \vec{b} \rvert^2 = 49$

$\lvert \vec{a} \rvert = 4$ と $\lvert \vec{b} \rvert = 1$ を代入すると、

$4(4^2) - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 1^2 = 49$

$4(16) - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 1 = 49$

$64 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 1 = 49$

$65 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} = 49$

$-4\vec{a} \cdot \vec{b} = 49 - 65$

$-4\vec{a} \cdot \vec{b} = -16$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{-16}{-4}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$