与えられた式 $(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)(64x^6-8x^3y^3+y^6)$ を計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)(64x^6-8x^3y^3+y^6)$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、最初の2つの括弧をかけ合わせます。これは、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$の公式を利用します。この場合、$a = 2x$、$b = y$とすると、

$(2x+y)((2x)^2 - (2x)y + y^2) = (2x)^3 + y^3 = 8x^3 + y^3$

したがって、

$(2x+y)(4x^2-2xy+y^2) = 8x^3 + y^3$

次に、この結果と最後の括弧をかけ合わせます。

$(8x^3 + y^3)(64x^6 - 8x^3y^3 + y^6)$

これは、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$の公式の逆を使います。ここで、$a = 8x^3$, $b = y^3$ とすると、

$(8x^3 + y^3)((8x^3)^2 - (8x^3)(y^3) + (y^3)^2) = (8x^3)^3 + (y^3)^3$

$(8x^3)^3 + (y^3)^3 = 8^3 (x^3)^3 + y^9 = 512x^9 + y^9$

したがって、

$(8x^3 + y^3)(64x^6 - 8x^3y^3 + y^6) = 512x^9 + y^9$

3. 最終的な答え

$512x^9 + y^9$