問題は以下の通りです。 (1) 3点A(0, 6), B(1, -1), C(-3, 7)を通る円の方程式を求めよ。 (2) △ABCの外心の座標と、外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) 3点A(0, 6), B(1, -1), C(-3, 7)を通る円の方程式を求めよ。

(2) △ABCの外心の座標と、外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおく。

点A(0, 6)を通ることから、

$0^2 + 6^2 + l(0) + m(6) + n = 0$

$36 + 6m + n = 0$ ...(1)

点B(1, -1)を通ることから、

$1^2 + (-1)^2 + l(1) + m(-1) + n = 0$

$2 + l - m + n = 0$ ...(2)

点C(-3, 7)を通ることから、

$(-3)^2 + 7^2 + l(-3) + m(7) + n = 0$

$9 + 49 - 3l + 7m + n = 0$

$58 - 3l + 7m + n = 0$ ...(3)

(2) - (1)より、

$(2 + l - m + n) - (36 + 6m + n) = 0 - 0$

$l - 7m - 34 = 0$

$l = 7m + 34$ ...(4)

(3) - (1)より、

$(58 - 3l + 7m + n) - (36 + 6m + n) = 0 - 0$

$22 - 3l + m = 0$

$3l - m = 22$ ...(5)

(4)を(5)に代入して、

$3(7m + 34) - m = 22$

$21m + 102 - m = 22$

$20m = -80$

$m = -4$

(4)に代入して、

$l = 7(-4) + 34 = -28 + 34 = 6$

(1)に代入して、

$36 + 6(-4) + n = 0$

$36 - 24 + n = 0$

$12 + n = 0$

$n = -12$

よって、円の方程式は $x^2 + y^2 + 6x - 4y - 12 = 0$

(2) 外心の座標を求める。

円の方程式を変形する。

$(x^2 + 6x) + (y^2 - 4y) = 12$

$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 4y + 4) = 12 + 9 + 4$

$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25 = 5^2$

したがって、外心の座標は (-3, 2) であり、外接円の半径は 5 である。

3. 最終的な答え

(1) 円の方程式: $x^2 + y^2 + 6x - 4y - 12 = 0$

(2) 外心の座標: (-3, 2), 外接円の半径: 5