3つの問題があります。 * 問題36: 正弦定理を用いて、三角形ABCの外接円の半径、辺CAの長さを求めます。 * 問題37: 余弦定理を用いて、三角形ABCの辺CAの長さ、cosAの値を求めます。 * 問題38: 三角形の面積の公式を用いて、三角形ABCの面積を求めます。

1. 問題の内容

3つの問題があります。

* 問題36: 正弦定理を用いて、三角形ABCの外接円の半径、辺CAの長さを求めます。

* 問題37: 余弦定理を用いて、三角形ABCの辺CAの長さ、cosAの値を求めます。

* 問題38: 三角形の面積の公式を用いて、三角形ABCの面積を求めます。

2. 解き方の手順

問題36

(1) 正弦定理より、外接円の半径Rは、$2R = \frac{BC}{\sin A}$で求められます。

$A = 135^\circ$, $BC = 2\sqrt{6}$なので、

$2R = \frac{2\sqrt{6}}{\sin 135^\circ} = \frac{2\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{3}$

$R = 2\sqrt{3}$

(2) 正弦定理より、$\frac{CA}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$が成り立ちます。

$AB = 4, B = 60^\circ, C = 45^\circ$なので、

$\frac{CA}{\sin 60^\circ} = \frac{4}{\sin 45^\circ}$

$CA = \frac{4 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{4 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}$

問題37

(1) 余弦定理より、$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos B$が成り立ちます。

$AB = 2, BC = 3, B = 60^\circ$なので、

$CA^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \times 2 \times 3 \times \cos 60^\circ = 4 + 9 - 12 \times \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7$

$CA = \sqrt{7}$

(2) 余弦定理より、$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2 \times BC \times CA \times \cos A$が成り立ちます。

$\cos A = \frac{BC^2 + CA^2 - AB^2}{2 \times BC \times CA}$

$AB = 4, BC = 6, CA = 5$なので、

$\cos A = \frac{6^2 + 5^2 - 4^2}{2 \times 6 \times 5} = \frac{36 + 25 - 16}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$

問題38

三角形の面積の公式より、$S = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin B$が成り立ちます。

$AB = 5, BC = 4, B = 120^\circ$なので、

$S = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 \times \sin 120^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

* 問題36 (1): $2\sqrt{3}$

* 問題36 (2): $2\sqrt{6}$

* 問題37 (1): $\sqrt{7}$

* 問題37 (2): $\frac{3}{4}$

* 問題38: $5\sqrt{3}$