与えられた立方体に対して、以下の3つの問いに答えます。 (1) 三角錐 ABCF の体積を求めます。 (2) 三角形 ACF の面積を求めます。 (3) 頂点 B から三角形 ACF に下ろした垂線 BI の長さを求めます。 立方体の各辺の長さは 4 です。

1. 問題の内容

与えられた立方体に対して、以下の3つの問いに答えます。

(1) 三角錐 ABCF の体積を求めます。

(2) 三角形 ACF の面積を求めます。

(3) 頂点 B から三角形 ACF に下ろした垂線 BI の長さを求めます。

立方体の各辺の長さは 4 です。

2. 解き方の手順

(1) 三角錐 ABCF の体積

三角錐 ABCF は、直角三角形 ABC を底面とし、高さが BF である三角錐とみなすことができます。

底面である直角三角形 ABC の面積は、

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$

高さ BF は 4 です。

したがって、三角錐 ABCF の体積 V は、

$V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times BF = \frac{1}{3} \times 8 \times 4 = \frac{32}{3}$

(2) 三角形 ACF の面積

三角形 ACF は正三角形であり、各辺の長さは $4\sqrt{2}$ です。正三角形の面積は、一辺の長さを $a$ とすると $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ で求められます。

したがって、三角形 ACF の面積 S は、

$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (4\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 \times 2 = 8\sqrt{3}$

(3) 頂点 B から三角形 ACF に下ろした垂線 BI の長さ

三角錐 ABCF の体積は $\frac{32}{3}$ であることがわかっています。これを別の視点から計算します。つまり、三角形 ACF を底面とし、高さが BI である三角錐と考えます。

$\frac{1}{3} \times S_{ACF} \times BI = V_{ABCF}$

$\frac{1}{3} \times 8\sqrt{3} \times BI = \frac{32}{3}$

$8\sqrt{3} \times BI = 32$

$BI = \frac{32}{8\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 三角錐 ABCF の体積: $\frac{32}{3}$

(2) 三角形 ACF の面積: $8\sqrt{3}$

(3) 垂線 BI の長さ: $\frac{4\sqrt{3}}{3}$