立方体ABCD-EFGHについて、 (1) 線分CEの長さを求める。 (2) 三角形CEFの面積を求める。 ただし、立方体の各辺の長さは5である。

1. 問題の内容

立方体ABCD-EFGHについて、

(1) 線分CEの長さを求める。

(2) 三角形CEFの面積を求める。

ただし、立方体の各辺の長さは5である。

2. 解き方の手順

(1) CEの長さを求める。

CEは、直角三角形CAEの斜辺である。

まず、CAの長さを求める。CAは正方形ABCDの対角線であり、その長さは、

$CA = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

したがって、CEの長さは、

$CE = \sqrt{CA^2 + AE^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + 5^2} = \sqrt{50 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$

(2) 三角形CEFの面積を求める。

三角形CEFは直角三角形ではない。しかし、点Eから線分CFに垂線を下ろすと、その長さは5になる。なぜなら、EF=5であり、四角形EFGHは正方形だからである。

CFの長さは、

$CF = \sqrt{EF^2+FG^2} = \sqrt{5^2+5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

三角形CEFの面積は、$EF$を底辺、$AE$を高さと見て、直角三角形CAEから直角三角形AEFの面積を引いて考えることも可能である。

直角三角形CAEの面積は、$\frac{1}{2} \times AE \times CA = \frac{1}{2} \times 5 \times 5\sqrt{2} = \frac{25\sqrt{2}}{2}$

直角三角形AEFの面積は、$\frac{1}{2} \times AE \times EF = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = \frac{25}{2}$

これは少し違う考え方である。

三角形CEFの面積を直接計算する方法を検討する。

$\triangle CEF$ の面積を求めるには、線分CFを底辺と考えると、点EからCFに下ろした垂線の長さが高さとなる。

点EからCFに下ろした垂線は、点Eから正方形EFGHの対角線に下ろした垂線と同じになるため、その長さは正方形の一辺の長さと等しく5になる。したがって、$\triangle CEF$ の面積は

$\frac{1}{2} \times CF \times 5 = \frac{1}{2} \times 5\sqrt{2} \times 5 = \frac{25\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) CEの長さ：$5\sqrt{3}$

(2) 三角形CEFの面積：$\frac{25\sqrt{2}}{2}$