直角三角形ABCにおいて、$BC = 6$ cm、$\angle BCA = 90^\circ$である。 (1) $AB = 11$ cmのとき、三角形ABCを直線BCを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。 (2) $AB = 12$ cmのとき、三角形ABCを直線ABを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$BC = 6$ cm、$\angle BCA = 90^\circ$である。

(1) $AB = 11$ cmのとき、三角形ABCを直線BCを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

(2) $AB = 12$ cmのとき、三角形ABCを直線ABを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCを直線BCを軸として回転させると、底面の半径がAC、高さがBCの円錐ができる。ACの長さを三平方の定理を用いて求める。

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

$AC^2 + 6^2 = 11^2$

$AC^2 = 121 - 36 = 85$

$AC = \sqrt{85}$

円錐の体積は、底面積 $\times$ 高さ $\times$ (1/3) で求められるので、

$V = \frac{1}{3} \pi (\sqrt{85})^2 \times 6 = \frac{1}{3} \pi \times 85 \times 6 = 170\pi$

(2) 三角形ABCを直線ABを軸として回転させると、二つの円錐が合わさったような立体ができる。ABを軸としたときのCからABへの垂線の長さをhとする。また、ABを軸としたときにAから垂線の足までの長さをxとする。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times BC \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times AC$、また、$\frac{1}{2} \times AB \times h = \frac{1}{2} \times 12 \times h$なので、

$6 \times AC = 12 \times h$

$h = \frac{1}{2} AC$

また、

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

$AC^2 + 6^2 = 12^2$

$AC^2 = 144 - 36 = 108$

$AC = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$

したがって、$h = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

次に、$x$を求める。

$AC^2 = h^2 + x^2$

$(6\sqrt{3})^2 = (3\sqrt{3})^2 + x^2$

$108 = 27 + x^2$

$x^2 = 81$

$x = 9$

すると、$AB = 12$より、$12 - x = 12 - 9 = 3$。

二つの円錐の体積を足し合わせると、

$V = \frac{1}{3} \pi h^2 x + \frac{1}{3} \pi h^2 (12-x) = \frac{1}{3} \pi h^2 (x + 12 - x) = \frac{1}{3} \pi h^2 \times 12 = 4 \pi h^2 = 4 \pi (3\sqrt{3})^2 = 4 \pi \times 27 = 108\pi$

3. 最終的な答え

(1) $170\pi$ cm$^3$

(2) $108\pi$ cm$^3$