## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

与えられた立方体ABCD-EFGHについて、以下の問いに答える。ただし、立方体の各辺の長さは5である。

(1) 線分CEの長さを求める。

(2) 三角形CEFの面積を求める。

##

2. 解き方の手順

(1) CEの長さを求める。

CEは立方体の対角線である。直角三角形ACEを考える。

ACの長さは、直角三角形ABCの斜辺であるから、ピタゴラスの定理より、

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

次に、直角三角形ACEについてピタゴラスの定理を用いると、

$CE = \sqrt{AC^2 + AE^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + 5^2} = \sqrt{50 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$

(2) 三角形CEFの面積を求める。

三角形CEFは、底辺をEFとすると、高さはCEからEFに下ろした垂線となる。

CEFの面積を求めるには、まずCFの長さを求める。直角三角形CGFにおいて、ピタゴラスの定理より

$CF = \sqrt{CG^2 + GF^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

次に、三角形CEFの面積を求める。

三角形CEFの3辺の長さは、CE = $5\sqrt{3}$、EF = 5、CF = $5\sqrt{2}$である。

ヘロンの公式を用いて三角形の面積を求める。

s = (CE + EF + CF)/2 = ($5\sqrt{3}$ + 5 + $5\sqrt{2}$)/2 = 5($\sqrt{3}$ + 1 + $\sqrt{2}$)/2

三角形CEFの面積Sは、

$S = \sqrt{s(s-CE)(s-EF)(s-CF)} = \sqrt{\frac{5}{2}(\sqrt{3}+1+\sqrt{2}) \cdot \frac{5}{2}(-\sqrt{3}+1+\sqrt{2}) \cdot \frac{5}{2}(\sqrt{3}+1-\sqrt{2}) \cdot \frac{5}{2}(\sqrt{3}-1+\sqrt{2}) }$

$= (\frac{5}{2})^2 \sqrt{ (1+\sqrt{2})^2 - 3 } \sqrt{ 3-(1-\sqrt{2})^2 } = \frac{25}{4} \sqrt{ (1+2\sqrt{2}+2-3)(3-(1-2\sqrt{2}+2))} = \frac{25}{4} \sqrt{2\sqrt{2} (2\sqrt{2})} = \frac{25}{4}\sqrt{8} = \frac{25}{4} 2\sqrt{2} = \frac{25\sqrt{2}}{2}$

しかし、点Hから線分EFに下ろした垂線がCGに平行で、その長さは5であることに着目すると、

三角形CEFの面積は、底辺EF = 5、高さCG = 5であるから、

$S = \frac{1}{2} \cdot EF \cdot CG = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = \frac{25}{2}$

##

3. 最終的な答え

(1) $CE = 5\sqrt{3}$

(2) 三角形CEFの面積は $\frac{25}{2}$