放物線 $F: y = f(x) = ax^2$ $(a > 0)$ と放物線 $G: y = g(x) = b(x-m)^2 + n$ $(b < 0)$ を考える。$F$ は下に凸で原点を頂点とし、$G$ は上に凸で頂点は $(m, n)$ となる。$G$ 上の点 $P$ を直線 $OA$ 上にはないようにとる。点 $P$ を通り直線 $AP$ に平行な直線と $F$ との交点のうち $O$ 以外の点を $Q$ とする。直線 $OA$ と直線 $PQ$ の交点を $R$ とする。点 $P$ の $x$ 座標を $m + p$, 点 $Q$ の $x$ 座標を $q$ とする。このとき線分の長さの比 $\frac{AR}{OR}$ を $a, b$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

放物線 $F: y = f(x) = ax^2$ $(a > 0)$ と放物線 $G: y = g(x) = b(x-m)^2 + n$ $(b < 0)$ を考える。$F$ は下に凸で原点を頂点とし、$G$ は上に凸で頂点は $(m, n)$ となる。$G$ 上の点 $P$ を直線 $OA$ 上にはないようにとる。点 $P$ を通り直線 $AP$ に平行な直線と $F$ との交点のうち $O$ 以外の点を $Q$ とする。直線 $OA$ と直線 $PQ$ の交点を $R$ とする。点 $P$ の $x$ 座標を $m + p$, 点 $Q$ の $x$ 座標を $q$ とする。このとき線分の長さの比 $\frac{AR}{OR}$ を $a, b$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

問題文から、$O$ は原点、$A$ は $(m,n)$ であると考えられる。また、放物線 $G$ の頂点は $(m,n)$ である。$A(m,n)$を通る直線を考える。

$AR/OR$ を求めるために、点Aの座標$(m,n)$とa,bを用いて表すことを目指す。

$F$ 上の点 $Q$ と $G$ 上の点 $P$ について、$x$ 座標がそれぞれ $q$, $m+p$ であることと、$PQ$が$OA$に平行であることから $R$ の座標を求める。

最終的に線分の比 $\frac{AR}{OR}$ を $a, b$ で表す。

具体的に $\frac{AR}{OR}$ が $a, b$ で表されることを示す。

3. 最終的な答え

$\frac{AR}{OR} = \frac{a}{-b}$