複素平面上の3点について、指定された角の大きさを求める問題です。 (ア) 原点O、点Q(3+2i)、点R(-5+i)について、$\angle QOR$を求めます。 (イ) 点P(i)、点Q(3)、点R(2+2i)について、$\angle QPR$を求めます。

1. 問題の内容

複素平面上の3点について、指定された角の大きさを求める問題です。

(ア) 原点O、点Q(3+2i)、点R(-5+i)について、$\angle QOR$を求めます。

(イ) 点P(i)、点Q(3)、点R(2+2i)について、$\angle QPR$を求めます。

2. 解き方の手順

(ア) $\angle QOR$ を求める。

ベクトル$\vec{OQ}$とベクトル$\vec{OR}$のなす角を考える。

$\vec{OQ} = 3+2i$

$\vec{OR} = -5+i$

$\cos \theta = \frac{\vec{OQ} \cdot \vec{OR}}{|\vec{OQ}||\vec{OR}|} = \frac{(3)(-5)+(2)(1)}{\sqrt{3^2+2^2}\sqrt{(-5)^2+1^2}} = \frac{-15+2}{\sqrt{13}\sqrt{26}} = \frac{-13}{\sqrt{13}\sqrt{13}\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$

よって、$\theta = \frac{3\pi}{4}$

したがって、$\angle QOR = \frac{3\pi}{4}$

(イ) $\angle QPR$ を求める。

ベクトル$\vec{PQ}$とベクトル$\vec{PR}$のなす角を考える。

$\vec{PQ} = 3-i$

$\vec{PR} = 2+i$

$\cos \theta = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{PR}}{|\vec{PQ}||\vec{PR}|} = \frac{(3)(2)+(-1)(1)}{\sqrt{3^2+(-1)^2}\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{6-1}{\sqrt{10}\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{2}\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、$\theta = \frac{\pi}{4}$

したがって、$\angle QPR = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(21):【4】

(22):【1】