## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

次の3つの問題を解きます。

1. 点$(1, 2)$と直線$4x + 3y - 12 = 0$の距離を求めます。

2. 原点と直線$4x - 2y = 7$の距離を求めます。

3. 点$(-1, 5)$と直線$y = 3x - 2$の距離を求めます。

さらに、以下の2つの問題を解きます。

4. 2直線$2x - y + 1 = 0$と$x + y - 4 = 0$の交点と、点$(-2, 1)$を通る直線の方程式を求めます。

5. 2点$A(4, 0)$、$B(0, 2)$について、線分$AB$の垂直二等分線の方程式を求めます。

##

2. 解き方の手順

点と直線の距離を求める公式を使います。点$(x_0, y_0)$と直線$ax + by + c = 0$の距離$d$は、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

で与えられます。

1. 点$(1, 2)$と直線$4x + 3y - 12 = 0$の距離は、

$d = \frac{|4(1) + 3(2) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|4 + 6 - 12|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|-2|}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}$

2. 原点$(0, 0)$と直線$4x - 2y - 7 = 0$の距離は、

$d = \frac{|4(0) - 2(0) - 7|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2}} = \frac{|-7|}{\sqrt{16 + 4}} = \frac{7}{\sqrt{20}} = \frac{7}{2\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{10}$

3. 点$(-1, 5)$と直線$y = 3x - 2$、つまり$3x - y - 2 = 0$の距離は、

$d = \frac{|3(-1) - 5 - 2|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|-3 - 5 - 2|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{|-10|}{\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$

4. 2直線$2x - y + 1 = 0$と$x + y - 4 = 0$の交点を求めます。

連立方程式を解きます。

$2x - y + 1 = 0$

$x + y - 4 = 0$

2つの式を足すと、$3x - 3 = 0$となり、$x = 1$が得られます。

$x=1$を$x + y - 4 = 0$に代入すると、$1 + y - 4 = 0$となり、$y = 3$が得られます。

よって、交点は$(1, 3)$です。

点$(1, 3)$と点$(-2, 1)$を通る直線の傾きは、

$m = \frac{3 - 1}{1 - (-2)} = \frac{2}{3}$

したがって、直線の方程式は、

$y - 3 = \frac{2}{3}(x - 1)$

$3y - 9 = 2x - 2$

$2x - 3y + 7 = 0$

5. 2点$A(4, 0)$、$B(0, 2)$について、線分$AB$の中点は、

$(\frac{4+0}{2}, \frac{0+2}{2}) = (2, 1)$

線分$AB$の傾きは、

$m_{AB} = \frac{2 - 0}{0 - 4} = -\frac{1}{2}$

垂直二等分線の傾きは、$m = - \frac{1}{m_{AB}} = 2$

したがって、垂直二等分線の方程式は、

$y - 1 = 2(x - 2)$

$y - 1 = 2x - 4$

$2x - y - 3 = 0$

##

3. 最終的な答え

1. $\frac{2}{5}$

2. $\frac{7\sqrt{5}}{10}$

3. $\sqrt{10}$

4. $2x - 3y + 7 = 0$

5. $2x - y - 3 = 0$