三角形ABCにおいて、AR:RB = 2:1、AQ:QC = 3:2である。このとき、BP:PCとAO:OPの比を求める。

## 問題67

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AR:RB = 2:1、AQ:QC = 3:2である。このとき、BP:PCとAO:OPの比を求める。

2. 解き方の手順

チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

問題文より、$\frac{AR}{RB} = \frac{2}{1}$、$\frac{AQ}{QC} = \frac{3}{2}$なので、$\frac{CQ}{AQ} = \frac{2}{3}$

よって、

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{3}{4}$

次に、メネラウスの定理より、直線ROが三角形BCPを通るので、

$\frac{BR}{RA} \cdot \frac{AO}{OP} \cdot \frac{PC}{CB} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{AO}{OP} \cdot \frac{4}{7} = 1$

$\frac{AO}{OP} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

BP:PC = 3:4

AO:OP = 7:2

## 問題68

1. 問題の内容

BDが円Oの直径で、∠CBD = 76°である。∠BAD、∠BAC、∠BOCを求める。

2. 解き方の手順

∠CBD = 76°で、BDが直径であるから、∠BCD = 90°である。

よって、∠BDC = 90° - 76° = 14°

∠BADは∠BDCの円周角なので、∠BAD = ∠BDC = 14°

∠BAC = ∠BAD + ∠DAC

∠DAC = 90 - ∠DBC = 90 -76 = 14

円周角の定理から、$∠BDC = ∠BAC = 14°$

$∠BOC = 2∠BAC$

$∠BOC = 2(14) = 28°$

3. 最終的な答え

∠BAD = 14°

∠BAC = 14°

∠BOC = 28°

## 問題69

1. 問題の内容

四角形ABCDが円に内接し、∠E = 40°、∠F = 32°である。∠ABC、∠ADCを求める。

2. 解き方の手順

∠ABCは∠Eの外角であるから、∠ABC = 180° - 40° = 140°

∠ADCは∠Fの外角であるから、∠ADC = 180° - 32° = 148°

3. 最終的な答え

∠ABC = 140°

∠ADC = 148°

## 問題70

1. 問題の内容

直線PQは点Cにおける円の接線で、CD = DA、∠DCQ = 37°である。∠ACD、∠ABCを求める。

2. 解き方の手順

接線と弦のつくる角の定理より、∠DAC = ∠DCQ = 37°

CD = DAより、三角形CDAは二等辺三角形であるから、∠ACD = ∠DAC = 37°

∠CDA = 180° - (37° + 37°) = 180° - 74° = 106°

四角形ABCDが円に内接するので、対角の和は180°であるから、∠ABC = 180° - ∠CDA = 180° - 106° = 74°

3. 最終的な答え

∠ACD = 37°

∠ABC = 74°