点 $(0, 3)$ から楕円 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ に引いた接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

点 $(0, 3)$ から楕円 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ に引いた接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、楕円 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式を求める。

楕円の方程式を $F(x, y) = x^2 + \frac{y^2}{4} - 1 = 0$ とおく。

接線の方程式は $x x_1 + \frac{y y_1}{4} = 1$ となる。

次に、この接線が点 $(0, 3)$ を通る条件を考える。

接線の方程式に $(x, y) = (0, 3)$ を代入すると、

$x_1 \cdot 0 + \frac{3 y_1}{4} = 1$

$\frac{3 y_1}{4} = 1$

$y_1 = \frac{4}{3}$

点 $(x_1, y_1)$ は楕円上にあるので、$x_1^2 + \frac{y_1^2}{4} = 1$ を満たす。

$x_1^2 + \frac{(\frac{4}{3})^2}{4} = 1$

$x_1^2 + \frac{\frac{16}{9}}{4} = 1$

$x_1^2 + \frac{4}{9} = 1$

$x_1^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$x_1 = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

したがって、接点は $(\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{4}{3})$ と $(-\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{4}{3})$ の2点である。

接線の方程式は、

$\frac{\sqrt{5}}{3} x + \frac{\frac{4}{3} y}{4} = 1$

$\frac{\sqrt{5}}{3} x + \frac{y}{3} = 1$

$\sqrt{5} x + y = 3$

$y = -\sqrt{5} x + 3$

もう一つの接線は、

$-\frac{\sqrt{5}}{3} x + \frac{\frac{4}{3} y}{4} = 1$

$-\frac{\sqrt{5}}{3} x + \frac{y}{3} = 1$

$-\sqrt{5} x + y = 3$

$y = \sqrt{5} x + 3$

3. 最終的な答え

$y = \sqrt{5}x + 3$ と $y = -\sqrt{5}x + 3$