極方程式 $r = \frac{3}{1+2\cos{\theta}}$ で表される曲線を、直交座標 $x, y$ の方程式で表す。

1. 問題の内容

極方程式 $r = \frac{3}{1+2\cos{\theta}}$ で表される曲線を、直交座標 $x, y$ の方程式で表す。

2. 解き方の手順

極座標と直交座標の関係は、以下の通りです。

$x = r\cos{\theta}$

$y = r\sin{\theta}$

$r^2 = x^2 + y^2$

与えられた極方程式を変形します。

$r = \frac{3}{1+2\cos{\theta}}$

$r(1+2\cos{\theta}) = 3$

$r + 2r\cos{\theta} = 3$

ここで、$x = r\cos{\theta}$ を代入すると、

$r + 2x = 3$

$r = 3 - 2x$

両辺を2乗すると、

$r^2 = (3 - 2x)^2$

$r^2 = 9 - 12x + 4x^2$

$r^2 = x^2 + y^2$ を代入すると、

$x^2 + y^2 = 9 - 12x + 4x^2$

$0 = 3x^2 - 12x - y^2 + 9$

$3(x^2 - 4x) - y^2 = -9$

$3(x^2 - 4x + 4) - y^2 = -9 + 12$

$3(x-2)^2 - y^2 = 3$

$(x-2)^2 - \frac{y^2}{3} = 1$

3. 最終的な答え

$(x-2)^2 - \frac{y^2}{3} = 1$