問題は、与えられた図の三角形ABCにおいて、ベクトル$\overrightarrow{BC}$と$\overrightarrow{CA}$の内積を計算し、選択肢の中から正しいものを選ぶことです。三角形ABCは、∠Bが直角で、∠Aが45°の直角三角形であり、斜辺ACの長さが2と与えられています。

1. 問題の内容

問題は、与えられた図の三角形ABCにおいて、ベクトル$\overrightarrow{BC}$と$\overrightarrow{CA}$の内積を計算し、選択肢の中から正しいものを選ぶことです。三角形ABCは、∠Bが直角で、∠Aが45°の直角三角形であり、斜辺ACの長さが2と与えられています。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル$\overrightarrow{BC}$と$\overrightarrow{CA}$の内積を定義に従って計算します。

$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{BC}| |\overrightarrow{CA}| \cos{\theta}$

ここで、$\theta$はベクトル$\overrightarrow{BC}$と$\overrightarrow{CA}$のなす角です。

三角形ABCにおいて、∠A = 45°であるため、∠C = 45°となります。

すると、$\overrightarrow{BC}$と$\overrightarrow{CA}$のなす角は180° - 45° = 135°です。

したがって、$\theta = 135^\circ$

次に、辺BCの長さを求めます。

三角形ABCは直角二等辺三角形なので、AB = BCです。

三平方の定理より、$AB^2 + BC^2 = AC^2$

$BC^2 + BC^2 = 2^2$

$2BC^2 = 4$

$BC^2 = 2$

$BC = \sqrt{2}$

よって、$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{2}$

また、$|\overrightarrow{CA}| = 2$です。

$\cos{135^\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$なので、

$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = \sqrt{2} \cdot 2 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -2$

3. 最終的な答え

-2