画像に書かれた問題は以下の通りです。 (2) 線分を2:3に内分する点 (3) 線分を3:1に外分する点 (4) 線分を2:3に外分する点 (5) 線分の中点 ただし、どの線分を対象とするかの情報が与えられていません。ここでは、一般的に線分ABを想定して、点Aの位置ベクトルを$\vec{a}$、点Bの位置ベクトルを$\vec{b}$とします。

1. 問題の内容

画像に書かれた問題は以下の通りです。

(2) 線分を2:3に内分する点

(3) 線分を3:1に外分する点

(4) 線分を2:3に外分する点

(5) 線分の中点

ただし、どの線分を対象とするかの情報が与えられていません。ここでは、一般的に線分ABを想定して、点Aの位置ベクトルを$\vec{a}$、点Bの位置ベクトルを$\vec{b}$とします。

2. 解き方の手順

(2) 線分ABを2:3に内分する点Pの位置ベクトル$\vec{p}$は、内分点の公式を用いて計算できます。

内分点の公式:

$\vec{p} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{2+3} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{5}$

(3) 線分ABを3:1に外分する点Qの位置ベクトル$\vec{q}$は、外分点の公式を用いて計算できます。

外分点の公式:

$\vec{q} = \frac{-\vec{a} + 3\vec{b}}{3-1} = \frac{-\vec{a} + 3\vec{b}}{2}$

(4) 線分ABを2:3に外分する点Rの位置ベクトル$\vec{r}$は、外分点の公式を用いて計算できます。

外分点の公式:

$\vec{r} = \frac{-3\vec{a} + 2\vec{b}}{2-3} = \frac{-3\vec{a} + 2\vec{b}}{-1} = 3\vec{a} - 2\vec{b}$

(5) 線分ABの中点Mの位置ベクトル$\vec{m}$は、中点の公式を用いて計算できます。

中点の公式:

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

3. 最終的な答え

(2) 線分ABを2:3に内分する点Pの位置ベクトル: $\vec{p} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{5}$

(3) 線分ABを3:1に外分する点Qの位置ベクトル: $\vec{q} = \frac{-\vec{a} + 3\vec{b}}{2}$

(4) 線分ABを2:3に外分する点Rの位置ベクトル: $\vec{r} = 3\vec{a} - 2\vec{b}$

(5) 線分ABの中点Mの位置ベクトル: $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$