問題12では、2点間の距離を求める問題が出題されています。問題13では、2点A, Bを結ぶ線分ABを内分する点の座標を求める問題が出題されています。問題14では、3点を頂点とする三角形の重心の座標を求める問題が出題されています。ここでは、問題13(1)と問題14(1)を解きます。

1. 問題の内容

問題12では、2点間の距離を求める問題が出題されています。問題13では、2点A, Bを結ぶ線分ABを内分する点の座標を求める問題が出題されています。問題14では、3点を頂点とする三角形の重心の座標を求める問題が出題されています。ここでは、問題13(1)と問題14(1)を解きます。

2. 解き方の手順

問題13(1)について：

線分ABをm:nに内分する点の座標は、A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$)としたとき、

$(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n})$ で求められます。

今回はA(-4, 2), B(3, -8)を3:1に内分するので、

$x$座標は$\frac{1*(-4) + 3*3}{3+1} = \frac{-4+9}{4} = \frac{5}{4}$

$y$座標は$\frac{1*2 + 3*(-8)}{3+1} = \frac{2-24}{4} = \frac{-22}{4} = -\frac{11}{2}$

問題14(1)について：

三角形の重心の座標は、頂点の座標を(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)としたとき、

$(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ で求められます。

今回は(-1, 0), (1, 2√3), (2, √3)を頂点とするので、

$x$座標は$\frac{-1+1+2}{3} = \frac{2}{3}$

$y$座標は$\frac{0+2\sqrt{3}+\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

問題13(1)の答え：$(\frac{5}{4}, -\frac{11}{2})$

問題14(1)の答え：$(\frac{2}{3}, \sqrt{3})$