円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=3$, $BC=7$, $CD=5$, $DA=5$であるとき、対角線$BD$の長さを求め、さらに四角形ABCDの面積Sを求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=3$, $BC=7$, $CD=5$, $DA=5$であるとき、対角線$BD$の長さを求め、さらに四角形ABCDの面積Sを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、四角形ABCDは円に内接しているので、向かい合う角の和は180度です。

$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$

$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$

ここで、$BD = x$とおきます。

$\triangle ABD$において余弦定理を用いると

$x^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos A$

$x^2 = 34 - 30 \cos A$ ...(1)

$\triangle BCD$において余弦定理を用いると

$x^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cos C$

$x^2 = 74 - 70 \cos C$

$C = 180^{\circ} - A$であるので、$\cos C = \cos(180^{\circ} - A) = - \cos A$

$x^2 = 74 + 70 \cos A$ ...(2)

(1)と(2)より、

$34 - 30 \cos A = 74 + 70 \cos A$

$-40 = 100 \cos A$

$\cos A = - \frac{2}{5}$

これを(1)に代入すると、

$x^2 = 34 - 30 \cdot (- \frac{2}{5}) = 34 + 12 = 46$

$x = \sqrt{46}$

したがって、$BD = \sqrt{46}$

次に、四角形ABCDの面積Sを求めます。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$より、$\sin^2 A = 1 - (-\frac{2}{5})^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

$\sin A = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\sin C = \sin(180^{\circ} - A) = \sin A = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\triangle ABD = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} = \frac{3\sqrt{21}}{2}$

$\triangle BCD = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} = \frac{7\sqrt{21}}{2}$

$S = \triangle ABD + \triangle BCD = \frac{3\sqrt{21}}{2} + \frac{7\sqrt{21}}{2} = \frac{10\sqrt{21}}{2} = 5\sqrt{21}$

3. 最終的な答え

$BD = \sqrt{46}$

$S = 5\sqrt{21}$