与えられた条件から円の方程式を求める問題です。具体的には、以下の3つの円の方程式を求めます。 (1) 中心が $(1, -4)$、半径が $3$ の円 (2) 中心が $(-1, 2)$、原点を通る円 (3) 2点 $A(2, 3)$ と $B(4, -1)$ を直径の両端とする円

1. 問題の内容

与えられた条件から円の方程式を求める問題です。具体的には、以下の3つの円の方程式を求めます。

(1) 中心が $(1, -4)$、半径が $3$ の円

(2) 中心が $(-1, 2)$、原点を通る円

(3) 2点 $A(2, 3)$ と $B(4, -1)$ を直径の両端とする円

2. 解き方の手順

(1) 中心が $(1, -4)$、半径が $3$ の円の方程式

円の方程式の一般形は $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ で表されます。ここで、$(a, b)$ は円の中心、$r$ は半径です。

中心が $(1, -4)$、半径が $3$ なので、$a = 1$, $b = -4$, $r = 3$ を代入します。

$(x - 1)^2 + (y - (-4))^2 = 3^2$

$(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 9$

(2) 中心が $(-1, 2)$、原点を通る円の方程式

中心が $(-1, 2)$ なので、円の方程式は $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = r^2$ となります。

原点 $(0, 0)$ を通ることから、$x = 0$, $y = 0$ を代入して半径 $r$ を求めます。

$(0 + 1)^2 + (0 - 2)^2 = r^2$

$1 + 4 = r^2$

$r^2 = 5$

よって、円の方程式は $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$

(3) 2点 $A(2, 3)$ と $B(4, -1)$ を直径の両端とする円の方程式

円の中心は、線分 $AB$ の中点です。中点の座標は $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ で求められます。

中心の座標は $\left(\frac{2 + 4}{2}, \frac{3 + (-1)}{2}\right) = \left(\frac{6}{2}, \frac{2}{2}\right) = (3, 1)$ となります。

円の半径は、中心 $(3, 1)$ と点 $A(2, 3)$ の距離です。距離は $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ で求められます。

$r = \sqrt{(2 - 3)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

よって、$r^2 = 5$ です。

円の方程式は $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 9$

(2) $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$

(3) $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$