直線 $y = \frac{1}{2}x + 10$ 上の点Pから長方形PQRSを作る。点Q, Rはx軸上にあり、点Sは直線 $y = -x + 8$ 上にある。四角形PQRSが正方形になるときの点Pの座標を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y = \frac{1}{2}x + 10$ 上の点Pから長方形PQRSを作る。点Q, Rはx軸上にあり、点Sは直線 $y = -x + 8$ 上にある。四角形PQRSが正方形になるときの点Pの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

点Pのx座標を $t$ とする。点Pは直線 $y = \frac{1}{2}x + 10$ 上にあるので、点Pの座標は $(t, \frac{1}{2}t + 10)$ と表せる。

PQRSは長方形なので、点Qの座標は $(t, 0)$ となる。

また、正方形なので、PQの長さとQRの長さは等しい。

PQの長さはPのy座標に等しいので、$\frac{1}{2}t + 10$ である。

QRの長さは、RSの長さに等しく、RSはSのy座標である。

点Sは直線 $y = -x + 8$ 上にある。点Sのy座標はPQの長さに等しいので、Sのy座標は$\frac{1}{2}t + 10$ である。

点Sの座標は $(s, \frac{1}{2}t + 10)$ と表せる。この点が $y = -x + 8$ 上にあるので、

$\frac{1}{2}t + 10 = -s + 8$

$s = -\frac{1}{2}t - 2$

点Rのx座標はSのx座標に等しく、点Rのy座標は0なので、点Rの座標は $(-\frac{1}{2}t - 2, 0)$ である。

点Qのx座標は $t$ であり、点Rのx座標は $-\frac{1}{2}t - 2$ であるので、QRの長さは

$|-\frac{1}{2}t - 2 - t| = |-\frac{3}{2}t - 2|$

PQの長さとQRの長さは等しいので、

$\frac{1}{2}t + 10 = |-\frac{3}{2}t - 2|$

(i) $-\frac{3}{2}t - 2 \ge 0$ のとき、$t \le -\frac{4}{3}$

$\frac{1}{2}t + 10 = -\frac{3}{2}t - 2$

$2t = -12$

$t = -6$

これは $t \le -\frac{4}{3}$ を満たす。

(ii) $-\frac{3}{2}t - 2 < 0$ のとき、$t > -\frac{4}{3}$

$\frac{1}{2}t + 10 = \frac{3}{2}t + 2$

$-t = -8$

$t = 8$

これは $t > -\frac{4}{3}$ を満たす。

点Pのx座標は $-20 \le t \le -\frac{4}{3}$ の範囲にあるので、(i) の $t = -6$ のみ条件を満たす。

したがって、点Pのx座標は $-6$ である。点Pのy座標は $\frac{1}{2}(-6) + 10 = -3 + 10 = 7$ である。

3. 最終的な答え

Pの座標は $(-6, 7)$