点と直線の距離を求める問題です。 (1) 点 $(1, -1)$ と直線 $4x - 3y + 1 = 0$ の距離を求めます。 (2) 原点 $(0, 0)$ と直線 $y = 2x - 10$ の距離を求めます。

1. 問題の内容

点と直線の距離を求める問題です。

(1) 点 $(1, -1)$ と直線 $4x - 3y + 1 = 0$ の距離を求めます。

(2) 原点 $(0, 0)$ と直線 $y = 2x - 10$ の距離を求めます。

2. 解き方の手順

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、次の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

(1) 点 $(1, -1)$ と直線 $4x - 3y + 1 = 0$ の場合：

$x_0 = 1$, $y_0 = -1$, $a = 4$, $b = -3$, $c = 1$ を公式に代入します。

$d = \frac{|4(1) - 3(-1) + 1|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|4 + 3 + 1|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|8|}{\sqrt{25}} = \frac{8}{5}$

(2) 原点 $(0, 0)$ と直線 $y = 2x - 10$ の場合：

まず、直線の式を $ax + by + c = 0$ の形に変形します。

$y = 2x - 10$ は $2x - y - 10 = 0$ となります。

よって、$a = 2$, $b = -1$, $c = -10$, $x_0 = 0$, $y_0 = 0$ を公式に代入します。

$d = \frac{|2(0) - 1(0) - 10|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-10|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) 点 $(1, -1)$ と直線 $4x - 3y + 1 = 0$ の距離は $\frac{8}{5}$ です。

(2) 原点 $(0, 0)$ と直線 $y = 2x - 10$ の距離は $2\sqrt{5}$ です。