カージオイド（心臓形） $x = 2a\cos t - a\cos 2t$, $y = 2a\sin t - a\sin 2t$ ($0 \le t \le 2\pi$) で囲まれた図形の面積を求める。ただし、$a$ は正の定数である。

1. 問題の内容

カージオイド（心臓形） $x = 2a\cos t - a\cos 2t$, $y = 2a\sin t - a\sin 2t$ ($0 \le t \le 2\pi$) で囲まれた図形の面積を求める。ただし、$a$ は正の定数である。

2. 解き方の手順

媒介変数表示された曲線で囲まれた面積は、次の公式で求められる。

$S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} (x \frac{dy}{dt} - y \frac{dx}{dt}) dt$

まず、$x$ と $y$ を $t$ で微分する。

$\frac{dx}{dt} = -2a\sin t + 2a\sin 2t$

$\frac{dy}{dt} = 2a\cos t - 2a\cos 2t$

次に、$x \frac{dy}{dt} - y \frac{dx}{dt}$ を計算する。

$x \frac{dy}{dt} = (2a\cos t - a\cos 2t)(2a\cos t - 2a\cos 2t)$

$= 4a^2\cos^2 t - 4a^2\cos t \cos 2t - 2a^2\cos 2t \cos t + 2a^2\cos^2 2t$

$= 4a^2\cos^2 t - 6a^2\cos t \cos 2t + 2a^2\cos^2 2t$

$y \frac{dx}{dt} = (2a\sin t - a\sin 2t)(-2a\sin t + 2a\sin 2t)$

$= -4a^2\sin^2 t + 4a^2\sin t \sin 2t + 2a^2\sin 2t \sin t - 2a^2\sin^2 2t$

$= -4a^2\sin^2 t + 6a^2\sin t \sin 2t - 2a^2\sin^2 2t$

したがって、

$x \frac{dy}{dt} - y \frac{dx}{dt} = 4a^2(\cos^2 t + \sin^2 t) - 6a^2(\cos t \cos 2t + \sin t \sin 2t) + 2a^2(\cos^2 2t + \sin^2 2t)$

$= 4a^2 - 6a^2 \cos(2t - t) + 2a^2$

$= 6a^2 - 6a^2 \cos t$

$= 6a^2(1 - \cos t)$

面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} 6a^2(1 - \cos t) dt$

$= 3a^2 \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos t) dt$

$= 3a^2 [t - \sin t]_{0}^{2\pi}$

$= 3a^2 (2\pi - 0 - (0 - 0))$

$= 6\pi a^2$

3. 最終的な答え

$6\pi a^2$