3点 $(0,0)$, $(-1,-1)$, $(3,1)$ を通る円の方程式を求め、さらにその円の中心の座標と半径を求めよ。

1. 問題の内容

3点 $(0,0)$, $(-1,-1)$, $(3,1)$ を通る円の方程式を求め、さらにその円の中心の座標と半径を求めよ。

2. 解き方の手順

円の方程式を一般形 $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおく。

この円が与えられた3点を通ることから、以下の3つの式が得られる。

* 点 $(0,0)$ を通ることから:

$0^2 + 0^2 + a(0) + b(0) + c = 0$

よって、 $c = 0$

* 点 $(-1,-1)$ を通ることから:

$(-1)^2 + (-1)^2 + a(-1) + b(-1) + c = 0$

$1 + 1 - a - b + c = 0$

$2 - a - b = 0$ ($c=0$ より)

$a + b = 2$ ...(1)

* 点 $(3,1)$ を通ることから:

$3^2 + 1^2 + a(3) + b(1) + c = 0$

$9 + 1 + 3a + b + c = 0$

$10 + 3a + b = 0$ ($c=0$ より)

$3a + b = -10$ ...(2)

(2) - (1) より

$2a = -12$

$a = -6$

(1)に代入して

$-6 + b = 2$

$b = 8$

したがって、円の方程式は $x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ となる。

次に、円の中心の座標と半径を求める。

円の方程式を平方完成する。

$(x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) = 0$

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) = 9 + 16$

$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$

$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 5^2$

よって、円の中心の座標は $(3, -4)$ であり、半径は $5$ である。

3. 最終的な答え

円の方程式: $x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$

中心の座標: $(3, -4)$

半径: $5$