問題は、図に示す直角三角形ABCにおいて、$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC}$ の内積を求めるものです。ただし、AC = 2, 角BAC = 45°です。

1. 問題の内容

問題は、図に示す直角三角形ABCにおいて、$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC}$ の内積を求めるものです。ただし、AC = 2, 角BAC = 45°です。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{BC}$ と $\overrightarrow{AC}$ の内積の定義を確認します。

$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{BC}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta}$

ここで、$\theta$ は $\overrightarrow{BC}$ と $\overrightarrow{AC}$ のなす角です。

図から、AC = 2です。

また、角BAC = 45°なので、直角三角形ABCは直角二等辺三角形です。

したがって、AB = BC となります。

三平方の定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 2BC^2$。

$2^2 = 2BC^2$

$4 = 2BC^2$

$BC^2 = 2$

$BC = \sqrt{2}$

$\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{BC}$ のなす角は、角BCA + 180°です。

角BCA = 45°なので、$\theta = 45 + 180 = 225$°。

したがって、

$\cos{\theta} = \cos{225^\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{BC}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta}$

$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$

$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = -\frac{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2}$

$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = -\frac{2 \cdot 2}{2}$

$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = -2$

3. 最終的な答え

-2