数直線上に3点 A(-2), B(1), C(5) がある。 (1) 線分 AB, CA の長さを求める。 (2) 線分 AB を 3:2 に内分する点 P, 3:2 に外分する点 Q, 2:3 に外分する点 R, 線分 AB の中点 M の座標をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

数直線上に3点 A(-2), B(1), C(5) がある。

(1) 線分 AB, CA の長さを求める。

(2) 線分 AB を 3:2 に内分する点 P, 3:2 に外分する点 Q, 2:3 に外分する点 R, 線分 AB の中点 M の座標をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分 AB の長さは、点 B の座標から点 A の座標を引いた絶対値で求められる。

同様に、線分 CA の長さは、点 A の座標から点 C の座標を引いた絶対値で求められる。

(2) 内分点の座標は、内分比を $m:n$ とすると、点 A の座標を $a$、点 B の座標を $b$ として、次の式で求められる。

$P = \frac{na + mb}{m+n}$

外分点の座標は、外分比を $m:n$ とすると、点 A の座標を $a$、点 B の座標を $b$ として、次の式で求められる。

$Q = \frac{-na + mb}{m-n}$

中点の座標は、点 A の座標を $a$、点 B の座標を $b$ として、次の式で求められる。

$M = \frac{a+b}{2}$

点 P: $A(-2)$, $B(1)$を $3:2$ に内分するので、$m=3$, $n=2$, $a=-2$, $b=1$ を代入して、

$P = \frac{2 \times (-2) + 3 \times 1}{3+2} = \frac{-4+3}{5} = \frac{-1}{5} = -0.2$

点 Q: $A(-2)$, $B(1)$を $3:2$ に外分するので、$m=3$, $n=2$, $a=-2$, $b=1$ を代入して、

$Q = \frac{-2 \times (-2) + 3 \times 1}{3-2} = \frac{4+3}{1} = 7$

点 R: $A(-2)$, $B(1)$を $2:3$ に外分するので、$m=2$, $n=3$, $a=-2$, $b=1$ を代入して、

$R = \frac{-3 \times (-2) + 2 \times 1}{2-3} = \frac{6+2}{-1} = \frac{8}{-1} = -8$

点 M: $A(-2)$, $B(1)$ の中点なので、$a=-2$, $b=1$ を代入して、

$M = \frac{-2+1}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$

3. 最終的な答え

(1) 線分 AB の長さ: $|1 - (-2)| = |3| = 3$

線分 CA の長さ: $|(-2) - 5| = |-7| = 7$

(2) 点 P の座標: $-0.2$

点 Q の座標: $7$

点 R の座標: $-8$

点 M の座標: $-0.5$