一辺の長さが3の正四面体OABCがある。辺OC上にOD=1となる点D、辺OB上に$OE = \frac{3}{4}$となる点Eをとる。 (1) $\triangle ABC$の外接円の半径を求めよ。また、点Oから平面ABCに垂線を引き、平面ABCとの交点をHとする。線分OHの長さを求めよ。 (2) 四面体OAEDの体積を求めよ。 (3) $\cos \angle AED$の値を求めよ。また、点Oから平面AEDに引いた垂線の長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが3の正四面体OABCがある。辺OC上にOD=1となる点D、辺OB上に$OE = \frac{3}{4}$となる点Eをとる。

(1) $\triangle ABC$の外接円の半径を求めよ。また、点Oから平面ABCに垂線を引き、平面ABCとの交点をHとする。線分OHの長さを求めよ。

(2) 四面体OAEDの体積を求めよ。

(3) $\cos \angle AED$の値を求めよ。また、点Oから平面AEDに引いた垂線の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\triangle ABC$は正三角形であるから、外接円の半径Rは、正弦定理より、

$\frac{3}{\sin 60^\circ} = 2R$

$R = \frac{3}{2 \sin 60^\circ} = \frac{3}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

正四面体OABCにおいて、頂点Oから底面ABCに下ろした垂線の足Hは、$\triangle ABC$の重心に一致する。重心は外接円の中心でもあるから、AHの長さは外接円の半径に等しい。

$AH = \sqrt{3}$

$\triangle OAH$は直角三角形であるから、ピタゴラスの定理より、

$OH^2 + AH^2 = OA^2$

$OH^2 + (\sqrt{3})^2 = 3^2$

$OH^2 + 3 = 9$

$OH^2 = 6$

$OH = \sqrt{6}$

(2)

四面体OAEDの体積を求める。

四面体OABCの体積Vは、底面積$\times$高さ$\times \frac{1}{3}$で求められる。

$\triangle ABC$の面積は、$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot \sin 60^\circ = \frac{9\sqrt{3}}{4}$

よって、 $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{6} = \frac{3\sqrt{18}}{4} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

四面体OAEDの体積は、四面体OABCの体積を基準にして考える。

点DはOCを1:2に内分する点であるから、四面体OABDの体積は、四面体OABCの体積の$\frac{1}{3}$である。

よって、四面体OABDの体積は、$\frac{1}{3} V = \frac{3\sqrt{2}}{4}$

点EはOBを3:1に内分する点であるから、四面体OAEDの体積は、四面体OABDの体積の$\frac{3}{4}$である。

よって、四面体OAEDの体積は、$\frac{3}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{9\sqrt{2}}{16}$

(3)

$\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OE} = \vec{e}, \overrightarrow{OD} = \vec{d}$とする。

$|\vec{a}| = 3, |\vec{e}| = \frac{3}{4}, |\vec{d}| = 1$

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OA} = \vec{e} - \vec{a}$

$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OD} = \vec{e} - \vec{d}$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 3 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = \frac{9}{2}$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = \frac{9}{2}$

$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \frac{9}{2}$

$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{DE} = (\vec{e} - \vec{a}) \cdot (\vec{e} - \vec{d}) = |\vec{e}|^2 - \vec{e}\cdot\vec{d} - \vec{a}\cdot\vec{e} + \vec{a}\cdot\vec{d} = |\vec{e}|^2 - \frac{3}{4}\cdot 1 \cdot \frac{9}{2} - 3 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{9}{2} + \frac{9}{2}$

$= (\frac{3}{4})^2 - \frac{27}{8} - \frac{27}{8} + \frac{9}{2} = \frac{9}{16} - \frac{27}{4} + \frac{18}{4} = \frac{9}{16} - \frac{9}{4} = \frac{9-36}{16} = - \frac{27}{16}$

$|\overrightarrow{AE}|^2 = |\vec{e} - \vec{a}|^2 = |\vec{e}|^2 - 2\vec{e}\cdot\vec{a} + |\vec{a}|^2 = (\frac{3}{4})^2 - 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} + 3^2 = \frac{9}{16} - \frac{9}{4} + 9 = \frac{9-36+144}{16} = \frac{117}{16}$

$|\overrightarrow{AE}| = \sqrt{\frac{117}{16}} = \frac{3\sqrt{13}}{4}$

$|\overrightarrow{DE}|^2 = |\vec{e} - \vec{d}|^2 = |\vec{e}|^2 - 2\vec{e}\cdot\vec{d} + |\vec{d}|^2 = (\frac{3}{4})^2 - 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} + 1 = \frac{9}{16} - \frac{3}{4} + 1 = \frac{9-12+16}{16} = \frac{13}{16}$

$|\overrightarrow{DE}| = \sqrt{\frac{13}{16}} = \frac{\sqrt{13}}{4}$

$\cos \angle AED = \frac{\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{AE}| |\overrightarrow{DE}|} = \frac{-27/16}{\frac{3\sqrt{13}}{4} \frac{\sqrt{13}}{4}} = \frac{-27/16}{39/16} = -\frac{27}{39} = -\frac{9}{13}$

四面体OAEDの体積は$\frac{9\sqrt{2}}{16}$である。$\triangle AED$の面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AE}| |\overrightarrow{DE}| \sin \angle AED = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AE}| |\overrightarrow{DE}| \sqrt{1-\cos^2\angle AED}$

$= \frac{1}{2} \frac{3\sqrt{13}}{4} \frac{\sqrt{13}}{4} \sqrt{1 - (\frac{-9}{13})^2} = \frac{1}{2} \frac{39}{16} \sqrt{1-\frac{81}{169}} = \frac{39}{32} \sqrt{\frac{88}{169}} = \frac{39}{32} \frac{2\sqrt{22}}{13} = \frac{3}{16} \sqrt{22}$

点Oから平面AEDに引いた垂線の長さをhとすると、$\frac{1}{3} S h = \frac{9\sqrt{2}}{16}$

$\frac{1}{3} (\frac{3}{16}\sqrt{22})h = \frac{9\sqrt{2}}{16}$

$\frac{1}{16} \sqrt{22} h = \frac{9\sqrt{2}}{16}$

$h = \frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{22}} = \frac{9\sqrt{11}}{11}$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ABC$の外接円の半径: $\sqrt{3}$, OHの長さ: $\sqrt{6}$

(2) 四面体OAEDの体積: $\frac{9\sqrt{2}}{16}$

(3) $\cos \angle AED$: $-\frac{9}{13}$, 点Oから平面AEDに引いた垂線の長さ: $\frac{9\sqrt{11}}{11}$