(1) 図1の三角形ABCにおいて、辺BCの中点をM、三角形ABCの重心、外心をそれぞれG, Oとする。このときAG, AOを求める。 (2) 図2の直角三角形ABCにおいて、内心をIとするとき、AIを求める。

1. 問題の内容

(1) 図1の三角形ABCにおいて、辺BCの中点をM、三角形ABCの重心、外心をそれぞれG, Oとする。このときAG, AOを求める。

(2) 図2の直角三角形ABCにおいて、内心をIとするとき、AIを求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 重心Gについて：AGは中線AMを2:1に内分する。

まず、AMの長さを求める。三角形ABMにおいて、AB=10, BM=6, AM=xとすると、中線定理より、$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$が成り立つ。したがって、$10^2+10^2=2(AM^2+6^2)$より、200=2(AM^2+36), 100=AM^2+36, AM^2=64, AM=8。

$AG = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \times 8 = \frac{16}{3}$

* 外心Oについて：AOは外接円の半径である。外接円の半径をRとすると、$R = \frac{abc}{4S}$である。$S$は三角形ABCの面積である。三角形ABCの面積Sは、$S = \frac{1}{2} \times 12 \times \sqrt{10^2 - 6^2} = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48$。

したがって、$R = \frac{10 \times 10 \times 12}{4 \times 48} = \frac{1200}{192} = \frac{25}{4}$。

$AO = R = \frac{25}{4}$

(2)

三角形ABCは直角三角形なので、内接円の半径rは、$r = \frac{a+b-c}{2}$で計算できる。ここで、a=3, b=4, c=5であるから、$r = \frac{3+4-5}{2} = \frac{2}{2} = 1$。

AIの長さを求める。Aから内接円の中心Iにおろした垂線の足をPとすると、三角形APIは直角三角形であり、$AP = r = 1$。

また、内接円の中心Iは角の二等分線上にあるので、$\angle IAC = \frac{1}{2} \angle BAC$。

三角形ABCにおいて、$\tan(\angle BAC) = \frac{4}{3}$であるから、$\angle BAC = \arctan(\frac{4}{3})$。よって、$\angle IAC = \frac{1}{2} \arctan(\frac{4}{3})$。

$\sin(\angle IAC) = \frac{IP}{AI} = \frac{r}{AI} = \frac{1}{AI}$なので、$AI = \frac{1}{\sin(\angle IAC)}$。

別の方法として、ピタゴラスの定理を用いる。AP = r = 1。三角形ABCは直角三角形なので、$AI = \sqrt{AP^2 + IP^2}$となるはずである。AP = r =

1. IP = r = 1。よって、$AI = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) AG = $\frac{16}{3}$, AO = $\frac{25}{4}$

(2) AI = $\sqrt{2}$