問題6と7の穴埋め問題を解きます。 問題6では、$\sin \theta = \frac{1}{3}$である鈍角$\theta$に対して、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めます。 問題7では、与えられた三角形ABCについて、(1)面積Sを求め、(2)辺aの値を求めます。

1. 問題の内容

問題6と7の穴埋め問題を解きます。

問題6では、$\sin \theta = \frac{1}{3}$である鈍角$\theta$に対して、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めます。

問題7では、与えられた三角形ABCについて、(1)面積Sを求め、(2)辺aの値を求めます。

2. 解き方の手順

問題6

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$であるため、$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$です。

$\sin \theta = \frac{1}{3}$を代入すると、$\cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\theta$は鈍角なので、$\cos \theta < 0$です。したがって、$\cos \theta = - \sqrt{\frac{8}{9}} = - \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$より、$\tan \theta = \frac{1}{3} \div (-\frac{2\sqrt{2}}{3}) = \frac{1}{3} \times (-\frac{3}{2\sqrt{2}}) = - \frac{1}{2\sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

問題7 (1)

三角形の面積の公式 $S = \frac{1}{2}bc\sin A$ を用います。

$b = 3, c = 4, A = 120^\circ$を代入すると、$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \sin 120^\circ = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

問題7 (2)

余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ を用います。

$b = 2\sqrt{2}, c = 2, A = 135^\circ$を代入すると、$a^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2 \times 2\sqrt{2} \times 2 \times \cos 135^\circ = 8 + 4 - 8\sqrt{2} \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 12 + 8 = 20$

$a > 0$より、$a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

問題6

$\cos \theta = - \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

問題7

(1) $S = 3\sqrt{3}$

(2) $a = 2\sqrt{5}$