画像の問題は三角比に関するもので、以下の3つのタイプの問題があります。 (1) 三角形の2辺とその間の角から面積を求める問題。 (2) 正弦定理を用いて三角形の辺の長さを求める問題。 (3) 正弦定理を用いて三角形の外接円の半径を求める問題。

1. 問題の内容

画像の問題は三角比に関するもので、以下の3つのタイプの問題があります。

(1) 三角形の2辺とその間の角から面積を求める問題。

(2) 正弦定理を用いて三角形の辺の長さを求める問題。

(3) 正弦定理を用いて三角形の外接円の半径を求める問題。

2. 解き方の手順

**(1) 三角形の面積を求める問題**

(1) $a=2$, $b=2$, $C=45^\circ$ のとき、三角形の面積は

$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times \sin 45^\circ = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

(2) $b=3$, $c=4$, $A=60^\circ$ のとき、三角形の面積は

$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \sin 60^\circ = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

**(2) 正弦定理を用いて辺の長さを求める問題**

(1) $\frac{1}{\sin 45^\circ} = \frac{a}{\sin 30^\circ}$ より、

$a = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{2}{\sin 45^\circ}$ より、

$b = \frac{2\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{2\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}$

**(3) 正弦定理を用いて外接円の半径を求める問題**

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A}=2R$。

$a = 2\sqrt{3}$, $A = 60^\circ$ なので、

$\frac{2\sqrt{3}}{\sin 60^\circ}=2R$

$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$4 = 2R$

$R = 2$

3. 最終的な答え

**(1) 三角形の面積**

(1) $S = \sqrt{2}$

(2) $S = 3\sqrt{3}$

**(2) 正弦定理による辺の計算**

(1) $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $b = \sqrt{6}$

**(3) 外接円の半径**

$R=2$