問題１：4次元空間において、原点からの方向が $ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} $ であり、原点からの距離が3である点の座標 $ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} $ を求める。 問題３：平面 $\mathbb{R}^2$ 上の３点 $O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$、$P = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$、$Q = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ が与えられている。点Qから直線OPに垂線を下ろした交点Dの座標を内積を用いて計算する。

1. 問題の内容

問題１：4次元空間において、原点からの方向が $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$ であり、原点からの距離が3である点の座標 $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix}$ を求める。

問題３：平面 $\mathbb{R}^2$ 上の３点 $O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$、$P = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$、$Q = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ が与えられている。点Qから直線OPに垂線を下ろした交点Dの座標を内積を用いて計算する。

2. 解き方の手順

問題１：

方向ベクトル $v = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$ を正規化する。

$||v|| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 0 + 4} = \sqrt{9} = 3$

よって、正規化された方向ベクトルは $u = \frac{1}{3} v = \begin{pmatrix} 2/3 \\ 1/3 \\ 0 \\ -2/3 \end{pmatrix}$

原点からの距離が3である点は、方向ベクトルuのスカラー倍で表される。

求める点の座標は $3u = 3 \cdot \begin{pmatrix} 2/3 \\ 1/3 \\ 0 \\ -2/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$

問題３：

直線OPの方向ベクトルは $p = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ である。

点Dは直線OP上にあるので、ある実数 $t$ を用いて $D = t \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3t \\ t \end{pmatrix}$ と表せる。

ベクトル $\overrightarrow{QD}$ は $\overrightarrow{OP}$ と直交するので、

$\overrightarrow{QD} \cdot \overrightarrow{OP} = 0$

$\overrightarrow{QD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OQ} = \begin{pmatrix} 3t \\ t \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3t - 1 \\ t - 4 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{QD} \cdot \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 3t - 1 \\ t - 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = 3(3t - 1) + 1(t - 4) = 9t - 3 + t - 4 = 10t - 7 = 0$

したがって $10t = 7$ より $t = \frac{7}{10}$

$D = \frac{7}{10} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21/10 \\ 7/10 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

問題１：$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$

問題３：$\begin{pmatrix} 21/10 \\ 7/10 \end{pmatrix}$