$R^2$ の3点 $O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $Q = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ が与えられている。点 $Q$ から直線 $OP$ に下ろした垂線の足を $D$ とする。 $D$ の座標を内積を使って計算する。

## 問題3の解答

1. 問題の内容

$R^2$ の3点 $O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $Q = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ が与えられている。点 $Q$ から直線 $OP$ に下ろした垂線の足を $D$ とする。 $D$ の座標を内積を使って計算する。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $OP$ の方向ベクトルは $\vec{OP} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ である。

(2) 点 $D$ は直線 $OP$ 上にあるので、$D = k\vec{OP} = \begin{pmatrix} 3k \\ k \end{pmatrix}$ と表せる。ここで、$k$ は実数である。

(3) $\vec{QD} = \begin{pmatrix} 3k - 1 \\ k - 4 \end{pmatrix}$ は直線 $OP$ と垂直であるから、$\vec{OP} \cdot \vec{QD} = 0$ が成り立つ。

(4) 内積を計算する：

$\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3k - 1 \\ k - 4 \end{pmatrix} = 3(3k - 1) + 1(k - 4) = 9k - 3 + k - 4 = 10k - 7 = 0$

(5) $k$ を解く:

$10k = 7$ より $k = \frac{7}{10}$

(6) 点 $D$ の座標を計算する:

$D = \frac{7}{10} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{21}{10} \\ \frac{7}{10} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

点 $D$ の座標は $\begin{pmatrix} \frac{21}{10} \\ \frac{7}{10} \end{pmatrix}$ である。