$\alpha = \arctan 1.05$ のとき、以下の2つの問いに答える問題です。 (1) $\cos \alpha$ と $\sin \alpha$ の値を求めます。 (2) 極座標で $(5.8, \alpha - \frac{\pi}{4})$ と表される点Aの直交座標を求めます。

1. 問題の内容

$\alpha = \arctan 1.05$ のとき、以下の2つの問いに答える問題です。

(1) $\cos \alpha$ と $\sin \alpha$ の値を求めます。

(2) 極座標で $(5.8, \alpha - \frac{\pi}{4})$ と表される点Aの直交座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \alpha$ と $\sin \alpha$ の値を求める。

$\alpha = \arctan 1.05$ より、$\tan \alpha = 1.05 = \frac{105}{100} = \frac{21}{20}$ です。

$\tan \alpha = \frac{21}{20}$ なので、直角三角形の高さが21、底辺が20と考えることができます。

斜辺の長さは $\sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$ です。

したがって、

$\cos \alpha = \frac{20}{29}$

$\sin \alpha = \frac{21}{29}$

(2) 点Aの直交座標を求める。

点Aの極座標は $(5.8, \alpha - \frac{\pi}{4})$ です。

直交座標を $(x, y)$ とすると、

$x = 5.8 \cos (\alpha - \frac{\pi}{4})$

$y = 5.8 \sin (\alpha - \frac{\pi}{4})$

三角関数の加法定理より、

$\cos (\alpha - \frac{\pi}{4}) = \cos \alpha \cos \frac{\pi}{4} + \sin \alpha \sin \frac{\pi}{4} = \frac{20}{29} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{21}{29} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{41\sqrt{2}}{58}$

$\sin (\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sin \alpha \cos \frac{\pi}{4} - \cos \alpha \sin \frac{\pi}{4} = \frac{21}{29} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{20}{29} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{58}$

したがって、

$x = 5.8 \cdot \frac{41\sqrt{2}}{58} = \frac{41\sqrt{2}}{10} = 4.1\sqrt{2}$

$y = 5.8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{58} = \frac{\sqrt{2}}{10} = 0.1\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \alpha = \frac{20}{29}$, $\sin \alpha = \frac{21}{29}$

(2) 点Aの直交座標は $(4.1\sqrt{2}, 0.1\sqrt{2})$