一辺の長さが $a$ の正四面体ABCDにおいて、辺CDの中点をMとするとき、以下のものを求めます。 (1) $\cos \angle ABM$ の値 (2) $\triangle ABM$ の面積

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の正四面体ABCDにおいて、辺CDの中点をMとするとき、以下のものを求めます。

(1) $\cos \angle ABM$ の値

(2) $\triangle ABM$ の面積

2. 解き方の手順

(1) $\cos \angle ABM$ の値を求める。

正四面体なので、$\triangle ABC$, $\triangle ABD$は正三角形です。したがって、$AM = BM = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ です。

$\triangle ABM$において、余弦定理を用いると、

$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos \angle ABM$

$(\frac{\sqrt{3}}{2} a)^2 = a^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2} a)^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a \cdot \cos \angle ABM$

$\frac{3}{4} a^2 = a^2 + \frac{3}{4} a^2 - \sqrt{3} a^2 \cos \angle ABM$

$\sqrt{3} a^2 \cos \angle ABM = a^2 + \frac{3}{4} a^2 - \frac{3}{4} a^2 = a^2$

$\cos \angle ABM = \frac{a^2}{\sqrt{3} a^2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\triangle ABM$ の面積を求める。

$\triangle ABM$ において、$AB = a, AM = BM = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ です。

$\sin^2 \angle ABM + \cos^2 \angle ABM = 1$ より、

$\sin^2 \angle ABM = 1 - \cos^2 \angle ABM = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$\sin \angle ABM = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ( $\because \angle ABM$ は鋭角 )

$\triangle ABM$ の面積は、

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BM \cdot \sin \angle ABM = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{18}}{6} a^2 = \frac{3 \sqrt{2}}{12} a^2 = \frac{\sqrt{2}}{4} a^2$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \angle ABM = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\triangle ABM = \frac{\sqrt{2}}{4} a^2$