問題は2つあります。 (1) 点 (3, 1, 4) を通り、ベクトル (2, 1, -3) に平行な直線の方程式を求める。 (2) 2点 (1, -3, 2) と (5, 2, 4) を通る直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 点 (3, 1, 4) を通り、ベクトル (2, 1, -3) に平行な直線の方程式を求める。

(2) 2点 (1, -3, 2) と (5, 2, 4) を通る直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 (3, 1, 4) を通り、ベクトル (2, 1, -3) に平行な直線の方程式を求める。

直線上の点を (x, y, z) とすると、位置ベクトルは

$\vec{p} = (x, y, z)$

与えられた点 (3, 1, 4) の位置ベクトルは

$\vec{a} = (3, 1, 4)$

方向ベクトルは

$\vec{v} = (2, 1, -3)$

したがって、直線の方程式は、

$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{v}$ (t は実数)

つまり、

$(x, y, z) = (3, 1, 4) + t(2, 1, -3)$

したがって、

$x = 3 + 2t$

$y = 1 + t$

$z = 4 - 3t$

これらを $t$ について解くと、

$t = \frac{x-3}{2} = y - 1 = \frac{z - 4}{-3}$

よって、直線の方程式は

$\frac{x-3}{2} = y - 1 = \frac{4-z}{3}$

(2) 2点 (1, -3, 2) と (5, 2, 4) を通る直線の方程式を求める。

2点 A(1, -3, 2) と B(5, 2, 4) を通る直線の方向ベクトルは

$\vec{AB} = (5-1, 2-(-3), 4-2) = (4, 5, 2)$

直線上の点を (x, y, z) とすると、

$\frac{x-1}{4} = \frac{y-(-3)}{5} = \frac{z-2}{2}$

$\frac{x-1}{4} = \frac{y+3}{5} = \frac{z-2}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x-3}{2} = y - 1 = \frac{4-z}{3}$

(2) $\frac{x-1}{4} = \frac{y+3}{5} = \frac{z-2}{2}$