問題1：4次元空間$\mathbb{R}^4$内にあり、原点Oからの方向ベクトルが$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$であり、Oからの距離が3である点の座標$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix}$を求める。 問題3：$\mathbb{R}^2$の3点O, P, Qがそれぞれ$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$であるとき、点Qから直線OPに垂線を下ろしてできる交点Dの座標を内積を使って計算する。

1. 問題の内容

問題1：4次元空間$\mathbb{R}^4$内にあり、原点Oからの方向ベクトルが$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$であり、Oからの距離が3である点の座標$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix}$を求める。

問題3：$\mathbb{R}^2$の3点O, P, Qがそれぞれ$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$であるとき、点Qから直線OPに垂線を下ろしてできる交点Dの座標を内積を使って計算する。

2. 解き方の手順

問題1：

方向ベクトル$\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$を正規化する。

$\| \vec{v} \| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 0 + 4} = \sqrt{9} = 3$

正規化されたベクトル$\vec{u}$は、$\vec{u} = \frac{\vec{v}}{\| \vec{v} \|} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/3 \\ 1/3 \\ 0 \\ -2/3 \end{pmatrix}$。

原点からの距離が3である点は、$3 \vec{u}$で与えられる。

したがって、求める点の座標は$3 \begin{pmatrix} 2/3 \\ 1/3 \\ 0 \\ -2/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$。

問題3：

直線OPの方向ベクトルは$\vec{OP} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$。

点Dは直線OP上にあるので、ある実数$t$を用いて$\vec{OD} = t \vec{OP} = t \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3t \\ t \end{pmatrix}$と表せる。

$\vec{QD}$は直線OPと垂直であるので、$\vec{QD} \cdot \vec{OP} = 0$。

$\vec{QD} = \vec{OD} - \vec{OQ} = \begin{pmatrix} 3t \\ t \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3t - 1 \\ t - 4 \end{pmatrix}$。

$\vec{QD} \cdot \vec{OP} = \begin{pmatrix} 3t - 1 \\ t - 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = (3t - 1) \cdot 3 + (t - 4) \cdot 1 = 9t - 3 + t - 4 = 10t - 7 = 0$。

したがって、$t = \frac{7}{10}$。

$\vec{OD} = \frac{7}{10} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21/10 \\ 7/10 \end{pmatrix}$。

3. 最終的な答え

問題1：$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$

問題3：$\begin{pmatrix} 21/10 \\ 7/10 \end{pmatrix}$