点(2,1)に関して点Q(a,b)と対称な点をPとする。点Qが直線 $2x-y+1=0$ 上を動くとき、点Pの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

点(2,1)に関して点Q(a,b)と対称な点をPとする。点Qが直線 $2x-y+1=0$ 上を動くとき、点Pの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

点Pの座標を(x,y)とする。点(2,1)は線分PQの中点なので、

$\frac{x+a}{2} = 2$

$\frac{y+b}{2} = 1$

これらの式からaとbをxとyで表すと、

$a = 4-x$

$b = 2-y$

点Q(a,b)は直線 $2x-y+1=0$ 上の点なので、

$2a-b+1 = 0$

この式に $a = 4-x$ 、 $b = 2-y$ を代入すると、

$2(4-x) - (2-y) + 1 = 0$

$8 - 2x - 2 + y + 1 = 0$

$-2x + y + 7 = 0$

$y = 2x - 7$

3. 最終的な答え

点Pの軌跡は直線 $y = 2x - 7$ である。