直方体ABCD-EFGHにおいて、AE=4, AF=7, FH=9である。 AH, cos∠FAH, △AFHの面積、AP, PQ:QF, △APQの面積, 点Eから△AFHに下ろした垂線の長さを求める。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、AE=4, AF=7, FH=9である。

AH, cos∠FAH, △AFHの面積、AP, PQ:QF, △APQの面積, 点Eから△AFHに下ろした垂線の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) AHの計算

△AEHは直角三角形なので、三平方の定理より、

$AH^2 = AE^2 + EH^2 = 4^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97$

$AH = \sqrt{97}$

(2) cos∠FAHの計算

余弦定理より、

$FH^2 = AF^2 + AH^2 - 2 \cdot AF \cdot AH \cdot \cos∠FAH$

$9^2 = 7^2 + (\sqrt{97})^2 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{97} \cdot \cos∠FAH$

$81 = 49 + 97 - 14\sqrt{97} \cdot \cos∠FAH$

$14\sqrt{97} \cdot \cos∠FAH = 49 + 97 - 81 = 65$

$\cos∠FAH = \frac{65}{14\sqrt{97}}$

(3) △AFHの面積の計算

$\sin^2∠FAH = 1 - \cos^2∠FAH = 1 - (\frac{65}{14\sqrt{97}})^2 = 1 - \frac{4225}{14^2 \cdot 97} = \frac{18988 - 4225}{18988} = \frac{14763}{18988}$

$\sin∠FAH = \sqrt{\frac{14763}{18988}}$

△AFHの面積 = $\frac{1}{2} \cdot AF \cdot AH \cdot \sin∠FAH = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot \sqrt{97} \cdot \sqrt{\frac{14763}{18988}} = \frac{7}{2} \sqrt{97} \sqrt{\frac{14763}{14^2 \cdot 97}} = \frac{7}{2} \cdot \frac{\sqrt{14763}}{14} = \frac{\sqrt{14763}}{4} = \frac{3\sqrt{1640.33...}}{4}$

△AFHの面積 = $\frac{1}{2} \cdot AF \cdot AH \cdot \sin∠FAH = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot \sqrt{97} \cdot \sqrt{1-(\frac{65}{14\sqrt{97}})^2}$

△AFHの面積 = $\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot \sqrt{97} \cdot \sqrt{1 - \frac{4225}{18988}} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot \sqrt{97} \cdot \sqrt{\frac{14763}{18988}} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot \sqrt{\frac{14763}{196}} = \frac{7\sqrt{14763}}{28} = \frac{\sqrt{14763}}{4} \approx 30.36$

$9^2 = 7^2 + (\sqrt{97})^2 - 2 * 7 * \sqrt{97} cos \theta$

$cos \theta = \frac{49+97-81}{14\sqrt{97}} = \frac{65}{14\sqrt{97}}$

$sin^2 \theta = 1 - (\frac{65}{14\sqrt{97}})^2 = \frac{18988-4225}{18988} = \frac{14763}{18988}$

$S = \frac{1}{2} * 7 * \sqrt{97} \sqrt{\frac{14763}{18988}} = \frac{1}{2} 7 \sqrt{\frac{14763}{196}} = \frac{7}{2} \frac{\sqrt{14763}}{14} = \frac{\sqrt{14763}}{4}$

AF:FH = 7:9 より角の二等分線の定理から、AP:PH = AF:FH = 7:9

AH = $\sqrt{97}$ なので、$AP = \frac{7}{16} \sqrt{97}$

(4)APの計算

角の二等分線の定理より、AP:PH = AF:FH = 7:9

$AP = \frac{7}{7+9}AH = \frac{7}{16}\sqrt{97}$

(5)PQ:QFの計算

∠FAHの二等分線をAQとし、FPとの交点をQとするとき、

AF:AP = FQ:QP

(6)△APQの面積の計算

(7)点Eから△AFHに下ろした垂線の長さの計算

3. 最終的な答え

AH = $\sqrt{97}$

cos∠FAH = $\frac{65}{14\sqrt{97}}$

△AFHの面積 = $\frac{\sqrt{14763}}{4}$

AP = $\frac{7\sqrt{97}}{16}$

PQ:QF = 1:ケ

△APQの面積 = △AFHの面積のコ/サシ倍

点Eから△AFHに下ろした垂線の長さはセ√セソ/タ