ベクトル $\vec{p_1} = (1, -5, 2)$, $\vec{p_2} = (-3, 0, 4)$, $\vec{p_3} = (2, -2, 0)$ が与えられたとき、まず $\vec{p_1} \times \vec{p_2}$ を求め、次に $\vec{p_1}$, $\vec{p_2}$, $\vec{p_3}$ が作る平行六面体の体積を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{p_1} = (1, -5, 2)$, $\vec{p_2} = (-3, 0, 4)$, $\vec{p_3} = (2, -2, 0)$ が与えられたとき、まず $\vec{p_1} \times \vec{p_2}$ を求め、次に $\vec{p_1}$, $\vec{p_2}$, $\vec{p_3}$ が作る平行六面体の体積を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{p_1} \times \vec{p_2}$ を計算する。

$$\vec{p_1} \times \vec{p_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-5)(4) - (2)(0) \\ (2)(-3) - (1)(4) \\ (1)(0) - (-5)(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 \\ -6 - 4 \\ 0 - 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 \\ -10 \\ -15 \end{pmatrix}$$

次に、平行六面体の体積 $V$ は、$\vec{p_1} \times \vec{p_2}$ と $\vec{p_3}$ の内積の絶対値で与えられる。

$$V = |(\vec{p_1} \times \vec{p_2}) \cdot \vec{p_3}|$$

$$(\vec{p_1} \times \vec{p_2}) \cdot \vec{p_3} = \begin{pmatrix} -20 \\ -10 \\ -15 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = (-20)(2) + (-10)(-2) + (-15)(0) = -40 + 20 + 0 = -20$$

$$V = |-20| = 20$$

3. 最終的な答え

$\vec{p_1} \times \vec{p_2} = \begin{pmatrix} -20 \\ -10 \\ -15 \end{pmatrix}$

平行六面体の体積 $V = 20$