平行四辺形ABCDにおいて、AB = 5, BC = 8, ∠ABC = $\theta$ (0° < $\theta$ < 90°)が成り立つとき、対角線ACの長さを$\theta$を用いて表す。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、AB = 5, BC = 8, ∠ABC = $\theta$ (0° < $\theta$ < 90°)が成り立つとき、対角線ACの長さを$\theta$を用いて表す。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。三角形ABCにおいて、ACの長さを求める。余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos\theta$

それぞれの値を代入すると、

$AC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos\theta$

$AC^2 = 25 + 64 - 80 \cos\theta$

$AC^2 = 89 - 80 \cos\theta$

ACの長さを求めるために、両辺の平方根を取る。

$AC = \sqrt{89 - 80 \cos\theta}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{89 - 80 \cos\theta}$