半径5cmの円O上に、$\angle AOB = 90^\circ$, $\angle BOC = 144^\circ$, $\angle COD = 54^\circ$となるように点A, B, C, Dをとる。以下の問いに答える。 (1) 円Oの円周の長さと面積を求めよ。 (2) 弧ABの長さを求めよ。 (3) 扇形OCDの面積を求めよ。 (4) 扇形ODAの面積は、扇形OBCの面積の何倍か求めよ。

1. 問題の内容

半径5cmの円O上に、$\angle AOB = 90^\circ$, $\angle BOC = 144^\circ$, $\angle COD = 54^\circ$となるように点A, B, C, Dをとる。以下の問いに答える。

(1) 円Oの円周の長さと面積を求めよ。

(2) 弧ABの長さを求めよ。

(3) 扇形OCDの面積を求めよ。

(4) 扇形ODAの面積は、扇形OBCの面積の何倍か求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円の円周の長さは $2\pi r$ で、面積は $\pi r^2$ で求められる。ここで、$r$は半径である。

(2) 弧ABの長さは、円周の長さ $\times$ (中心角/360°) で求められる。中心角は$\angle AOB = 90^\circ$である。

(3) 扇形OCDの面積は、円の面積 $\times$ (中心角/360°) で求められる。中心角は$\angle COD = 54^\circ$である。

(4) 扇形ODAの中心角を求める。円の中心角は$360^\circ$なので、

$\angle DOA = 360^\circ - (\angle AOB + \angle BOC + \angle COD) = 360^\circ - (90^\circ + 144^\circ + 54^\circ) = 360^\circ - 288^\circ = 72^\circ$.

扇形ODAの面積は、円の面積 $\times$ (中心角/360°) で求められる。扇形OBCの面積は、円の面積 $\times$ (中心角/360°) で求められる。

したがって、扇形ODAの面積/扇形OBCの面積 = ($72^\circ/360^\circ$)/($144^\circ/360^\circ$) = $72^\circ/144^\circ$ = $1/2$

(1)

円周の長さ $= 2 \pi (5) = 10 \pi$

面積 $= \pi (5^2) = 25 \pi$

(2)

弧ABの長さ $= 10 \pi \times (90/360) = 10 \pi \times (1/4) = (5/2) \pi = 2.5 \pi$

(3)

扇形OCDの面積 $= 25 \pi \times (54/360) = 25 \pi \times (3/20) = (15/4) \pi = 3.75 \pi$

(4)

$\angle DOA = 72^\circ$

扇形ODAの面積/扇形OBCの面積 = $72/144 = 1/2$

3. 最終的な答え

(1) 周の長さ: $10\pi$ cm, 面積: $25\pi$ cm$^2$

(2) $2.5\pi$ cm

(3) $3.75\pi$ cm$^2$

(4) 0.5 倍